查找——平衡二叉树Balanced Binary/Height-Balanced Tree的详解与实现

8.5 平衡二叉树

在二叉排序树上实现查找的时间复杂度与从根到所查数据元素的结点的路径长度成正比，在最坏情况下这个长度等于树的高度。在构造二叉排序树时，如果输入的数据元素序列恰巧按其关键字大小有序，则在形式上已经退化成一个单链表了。这样查找操作所需要的时间就是O(n),或者说与结点个数成线性关系。
因此需要有一种方法来避免使二叉排序树变得过于窄而高这种情况的发生。如果能够保证树的高度与树中结点数目n之间成log2 n 关系，就能提高查找效率。

8.5.1 平衡二叉树的定义

1. 一棵平衡二叉树或者是空树，或者是具有下列性质的二叉排序树：
   它的左子树和右刊都是平衡二叉树，且左子树和右子树的高度之差的绝对值不超过1。
   
   在图8-14（a）标的二叉排序树中，没有一个结点的左子树和右子树高度之差的绝对值超过1，因此它是一棵平衡二叉树。而在图8-14（b）所示的二叉排序树中，根的右子树的高度为1。而左子树的高度为4，两者高度之差的绝对值为2，因此它不是一棵平衡二叉树。
2. 平衡因子（balance factor，BF）：每个结点右子树的高度减去左子树的高度所得的高度差。
3. 根据平衡二叉树的定义，任一结点的平衡因子只能是-1、0和1。如果有结点的平衡因子的绝对值大于1，（裸二叉排序树就失去了平衡，就不是平衡二叉树了。
4. 一棵具有n个结点的平衡二叉树，其平均查找长度为O(log2n)。

8.5.2 平衡旋转

1. 假定向平衡二叉树中插入一个新结点后破坏了它的平衡性，首先需要找到插入新结点后失去平衡的最小子树的根结点，然后对它进行相应的旋转，使之成为新的平衡子树。
2. 当失去平衡的最小子树被调整为平衡子树后，整个二叉排序树就又平衡了。在平衡调整过程中除失去平衡的最小子树外，其他结点不需要做任何调整。
3. 失去平衡的最小子树的根是离插入点最近，且平衡因子的绝对值大于1的结点。设失去平衡的最小子树的根为A。则平衡调整可有以下四种情况：
   （1）LL平衡旋转
   如果因为在A的左孩子B的左子树上插入新结点，使A的平衡因子由-1变成-2，则需进行LL平衡旋转。
   
   图（a）为原始的平衡状态，图（b）为插入结点X后不平衡的状态。
   为使树恢复平衡，从A沿刚才插入路径连续取两个结点A和B，以结点B为旋转轴，将结点A顺时针向下旋转成为B的右孩子，结点B代替原来结点A的位置，结点B原来的右孩子作为结点A的左孩子。

template<class ElemType> AVLNode<ElemType>* AVL<ElemType>::LL(AVLNode<ElemType> *t)
{
   
   
    AVLNode<ElemType> *q=t->left;
    t->left=q->right;
    q->right=t;
    t=q;
    t->height=max(GetHeight(t->left),GetHeight(t->right))+1;
    q->height=max(GetHeight(q->left),GetHeight(q->right))+1;
    return q;
}

（2）RR平衡旋转
如因为在A的右孩子B的右子树上插入新结点，使A的平衡因子由1变成2，则需进行RR平旋转。

为使树恢复平衡，从A沿刚才的插入路径连续取两个结点A和B，以结点B为旋转轴，将结点A逆时针向下旋转成为B的左孩子，结点B代替原来结点A的位置，结点B原来的左孩子成为结点A的右孩子。

template<class ElemType> AVLNode<ElemType>* AVL<ElemType>::RR(AVLNode<ElemType> *t)
{
   
   
    AVLNode<ElemType> *q=t->right;
    t->right=q->left;
    q->left=t;
    t=q;
    t->height=max(GetHeight(t->left),GetHeight(t->right))+1;
    q->height=max(GetHeight(q->left),GetHeight(q->right))+1;
    return q;
}

（3）LR平衡旋转
如果是因为在A的左孩子B的右子树上插入新结点，使A的平衡因子由-1变成-2，则需要进行LR平旋转。

为使二叉排序树恢复平衡，则需要进行先逆时针后顺时针的平衡旋转，即先将A的左孩子B的右孩子C向逆时针方向旋转代替B的位置，再以结点C为旋转轴，将结点A向顺时针方向旋转成为C的右孩子，结点C代替原来结点A的位置，结点C原来的左孩子转为结点B的右孩子，结点C原来的右孩子转为结点A的左孩子。

template<class ElemType> AVLNode<ElemType>* AVL<ElemType>::LR(AVLNode<ElemType> *t)
{
   
   
    //对p的左节点进行RR旋转，再对根节点进行LL旋转
    AVLNode<ElemType> *q=RR(t->left);
    t->left=q;
    return LL(t);
}

（4）RL平衡旋转
如果是因为在A的右孩子B的左子树上插入新结点，使A的平衡因子由1变成2，则需要进行RL平衡旋转。

为使树恢复平衡，则需要进行先顺时针后逆时针的平衡旋转，即先将A的右孩子B的左孩子C向顺时针方向旋转代替B的位置，再以结点C为旋转轴，将结点A向逆时针方向旋转成为C的左孩子，结点C代替原来结点A的位置，结点C原来的左孩子转为结点A的右孩子，结点C原来的右孩子转为结点B的左孩子。

template<class ElemType> AVLNode<ElemType>* AVL<ElemType>::RL(AVLNode<ElemType> *t)
{
   
   
    //对p的左节点进行RR旋转，再对根节点进行LL旋转
    AVLNode<ElemType> *q=LL(t->right);
    t->right=q;
    return RR(t);
}

8.5.3 插入结点

在平衡二叉树中插入一个新结点后，如果二叉排序树中某个结点的平衡因子的绝对值|bf|>1，则出现了不平衡，这时需要根据平衡旋转的类型立即进行平衡化处理，使得二叉排序树中各结点重新平衡。平衡二叉树插入结点的算法思想如下。
1）按二叉排序树的性质插入结点。
2）如果插入结点之后出现不平衡的结点，则转步骤3）；否则插入完成。
3）找到失去平衡的最小子树。
4）判断平衡旋转的类型作相应平衡化处理。
在插入之后如果树上出现平衡因子绝对值大于1的结点，则说明二叉排序树已不平衡。这时失去平衡的最小子树的根结点必为离插入结点最近，而且插入之前平衡因子绝对值为1的结点。为此，要解决上述三个问题可以作如下处理。
1）在查找结点x的插入位置的过程中，记下从根结点到插入位置的路径上离插入位置最近的且平衡因子绝对值为1的结点，并令指针a指向该结点；如果此路径上不存在平衡因子绝对值为1的结点，则指针a指向根结点。
2）对于从a结点到x结点的路径上的每一个结点（不包括结点x），根据结点中关键字和x的大小比较修改结点的平衡因子。如果结点关键字大于x，则结点平衡因子减1；否则结点平衡因子加1。
3）如果结点a的平因子绝对值为2，则表示二叉排序树失去平衡，再根据结点a及其左右孩子的平衡因子值来确定平衡旋转的类型。

#define LH -1
#define EH 0
#define RH 1
template<class ElemType> AVLNode<ElemType>*
AVL<ElemType>::Find(const ElemType &key,AVLNode<ElemType> *&f,AVLNode<ElemType> *&a,AVLNode<ElemType> *&af)
{
   
   
    AVLNode<ElemType> *p=root;//p为搜索指针
    a=af=f=NULL;//初始化
    while(p!=NULL && p->data!=key)
    {
   
   
        if(p->bf !=EH)
        {
   
   
            af=f;
            a=p;
        }
        if(key < p->data)//key比p小，在左子树上进行查找
        {
   
   
            f=p;
            p=p->left;
        }
        else
        {
   
   
            f=p;
            p=p->right;
        }
    }
    if(a==NULL)
        a=root;
    return p;
}

算法先利用上面的 Find()函数查找插入位咒，再根据a结点的平衡因子（bf） 以及插入元素值与a结点元素值比较关系确定平衡旋转的方式。
结点a的平衡因子有以下三种情况。
1）结点a的bf为-1：此时，如果被插入元素的值小于a的值，就会使结点a的平衡因子从-1变为-2。因此需要进行LL或LR旋转；否则，被插入元素的值大于a的值，就会使结点a的平衡因子从-1变为0。所以不需要进行平衡旋转，但需要修改从结点a到结点p这条路径上各结点的平衡因子。要区分LL还是LR旋转，就要比较被插入元素p的值和a的左孩子结点b的值，如果p的值小于b的值，就要进行LL旋转，否则进行LR旋转。
2）结点a的bf为0：此时，插入元素后a的平衡因子会变为-1（被插入元素的值小于a的值）或1（被插入元素的值大于a的值），所以不需要进行平衡旋转，但需要修改从结点a到结点p这条路径上各结点的平衡因子。
3）结点a的bf为1：此时，如果被插入元素的值大于a的值，就会使结点a的平衡因子从|变为2，因此需要进行RR或RL旋转；否则，被插入元素的值小于a的值，就会使结点a的平衡因子从1变为0，所以不需要进行平衡旋转，但需要修改从结点a到结点p这条路径上各结点的平衡因子。要区分RR还是RL旋转，就要比较被插入元素p的值和a的右孩子结点的值，如果p的值大于b的值，就要进行RR旋转；否则进行RL旋转。
另外，如果在调用 Find()函数进行查找时，在平衡二叉树中找到了相应元素，就不需要进行插入操作。

template<class ElemType> void
AVL<ElemType>::FindParent(const ElemType &x,AVLNode<ElemType> *&p)
{
   
   
    AVLNode<ElemType> *r=root;
    p=NULL;
    while(r!=NULL && r->data!=x)
    {
   
   
        if(x < r->data)
        {
   
   
            p=r;
            r=r->left