牛客小白月赛28 A牛牛和牛可乐的赌约 (数论-费马小定理）

题目

A牛牛和牛可乐的赌约

题目链接

传送门

题解

注意阅读题目是计算牛牛输的概率。

需要掌握的知识点

• 快速幂
• 费马小定理
  • 分数取模

首先我们容易知道 牛牛 赢的概率是 $$\frac{1}{n^m}$$
那么牛牛输的概率就是 $$1-\frac{1}{n^m}$$
这输的值一看就十分难以取模，那么我们就思考特殊分数，即当分子为1的时候取模是不是会比较简单呢

于是就从 $\frac{1}{n^m}$ 入手
先引入费马小定理

假设要求解 $$\frac{1}{a}modp$$ ,引用 $$a^{p-1}=1(modp)$$
推导过程 将 $$a^{p-1}=a^{p-2}\ast a$$ 带入得 $$a^{p-2}\ast a=1modp$$
可得
$$a^{p-2}=\frac{1}{a}modp$$

很明显，此处的a不就正是我们的 $n^m$
化简可得
$$n^{m\ast (p-2)}=\frac{1}{n^m}modp$$
然而这不是输，这是赢的值
故
$$p+1-n^{m\ast (p-2)}=1-\frac{1}{n^m}$$
因为整项是对p取模的，所以需要$p+1-$

代码

//https://blog.youkuaiyun.com/godleaf/article/details/79844074
//费马小定理对分数取模

ll qpow(ll a, ll b, ll mod){
	ll ans = 1;
	while (b){
		if (b & 1){
			ans = (ans * a) % mod;
		}
		a = a * a % mod;
		b >>= 1;
	}
	return ans;
}
const int p = 1e9 + 7;
int main(){
	int t; scanf("%d", &t);
	while(t--){
		ll n, m; scanf("%lld%lld",&n, &m);
		ll t1 = qpow(n, p - 2, p);
        ll t2 = qpow(t1, m, p);
        t2 = (1 - t2 + p) % p;
        printf("%lld\n", t2);
	}
}