51nod 1119 机器人走方格V2

最新推荐文章于 2019-11-18 10:35:40 发布

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#费马小定理 #快速幂

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本文探讨了在M*N网格中，机器人从左上角到右下角的不同路径计数问题，采用组合数学方法，利用费马小定理计算逆元，以解决大数值下路径组合的高效计算。

摘要生成于 C知道，由 DeepSeek-R1 满血版支持，前往体验 >

M * N的方格，一个机器人从左上走到右下，只能向右或向下走。有多少种不同的走法？由于方法数量可能很大，只需要输出Mod 10^9 + 7的结果。
收起
输入
第1行，2个数M,N，中间用空格隔开。（2 <= m,n <= 1000000)
输出
输出走法的数量 Mod 10^9 + 7。
输入样例
2 3
输出样例
3
题目传送门
刚开始考虑从左上角走到右下角每走一步下一步共有两种选择：向下走或者向右走；所以求出向左走或者向右走共有多少种走法即可。

#include<iostream>
#include<algorithm>
#include<cstring>
using namespace std;
const long long maxn = 1e9 + 7;
long long m, n;
long long fun(long long x,long long y)
{
	if (x == m || y == n) return 0;
	else if (x == m - 1 && y == n - 1) return 1;
	else
		return( (fun(x + 1, y) + fun(x, y + 1))%maxn);
}
int main()
{
	cin >> m >> n;
	cout << fun(0, 0) << endl;
	getchar();
	getchar();
}

但由于M,N的取值范围过大，超出题目所要求的时间范围，所以不得不换一种思路。
可以看出在M×N的方格中，从左上角走到右下角一共要走M+N-2个方格，其中向下走M-1个方格，向右走N-1个方格，也就是在M+N-2步中选取M-1或者N-1步有多少种组合方式，即C（M+N-2，min（M-1，N-1））%mod（题目要求输出走法的数量%mod）。

除法取模可以用费马小定理求逆元

根据排列组合的公示，可将原始变为a/b%mod=x（x为最终输出结果），即a/b=x（%mod）
费马小定理：假如p是质数,且(a,MOD)=1,那么 a^(MOD-1) ≡1（%MOD）
假如MOD是质数,且a,MOD互质,那么 a的(MOD-1)次方除以MOD的余数恒等于1
即b^(MOD-1)=1(%MOD)(MOD是质数且与b互质）
可推导出a/b×b^(MOD-1)=x(%MOD)(因为，a%c=x,b%c=y,则a×b%c=x×y)
即a×b^(MOD-2) =x(%MOD),所以x=a×b^(MOD-2)%MOD;可用快速幂求解。

#include<iostream>
#include<algorithm>
#include<cstring>
using namespace std;
const long long maxn = 1e9 + 7;
long long m, n;
long long quick_pow(long long x, long long y)
{
	long long ans = 1;
	while (y)
	{
		if (y % 2)
		{
			ans = ans * x%maxn;
		}
		y >>= 1;
		x = x * x%maxn;
	}
	return ans%maxn;
}
int main()
{
	cin >> m >> n;
	long long t = min(m-1,n-1);
	long long ans1 = 1, ans2 = 1;
     n = m + n - 2;//由于n在下面已经没有用处，所以可以重新赋值用于其他途径
	for (long long i = n; i >= n-t+1; i--)
		ans1 = ans1 * i%maxn;
	for (long long i = t; i >= 2; i--)
		ans2 = ans2 * i%maxn;
	long long ans3 = ans1 * quick_pow(ans2, maxn - 2) % maxn;
	cout << ans3 << endl;
	getchar();
	getchar();
}

参考资料
https://blog.youkuaiyun.com/Greenary/article/details/79343963