奇异值分解（SVD）

奇异值分解(Singular Value Decomposition，以下简称SVD)是在机器学习领域广泛应用的算法，它不光可以用于降维算法中的特征分解，还可以用于推荐系统，以及自然语言处理等领域。是很多机器学习算法的基石.

1.SVD的定义及相关概念

SVD也是对矩阵进行分解，但是和特征分解不同，SVD并不要求要分解的矩阵为方阵。假设我们的矩阵A是一个m×n的矩阵，那么我们定义矩阵A的SVD为：
假设有 m×n的矩阵 A，那么 SVD 就是要找到如下式的这么一个分解，将 A 分解为 3 个矩阵的乘积：

其中U和V都是正交矩阵, 在复数域内的话就是酉矩阵（Unitary Matrix），即

换句话说，就是说U的转置等于U的逆，V的转置等于V的逆：

而 Σ就是一个非负实对角矩阵。

那么 U和 V 以及Σ是如何构成的呢?

2.求解

U 和 V 的列分别叫做 A 的 左奇异向量（left-singular vectors）和 右奇异向量（right-singular vectors），Σ 的对角线上的值叫做 A 的奇异值（singular values）。

其实整个求解 SVD 的过程就是求解这 3 个矩阵的过程，而求解这 3 个矩阵的过程就是求解特征值和特征向量的过程，问题就在于求谁的特征值和特征向量。
U 的列由 A^T * A的单位化过的特征向量构成
V 的列由 A^T * A的单位化过的特征向量构成
Σ 的对角元素来源于 A^T * A或 A * A^T 的特征值的平方根，并且是按从大到小的顺序排列

知道了这些，那么求解 SVD 的步骤就显而易见了：
求 A * A^T的特征值和特征向量，用单位化的特征向量构成U
求 A * A^T的特征值和特征向量，用单位化的特征向量构成V
将 A * A^T或者AT * A的特征值求平方根，然后构成 Σ

3.举例

假设

那么可以计算得到

接