算法设计与分析3——递归分治策略

分治法的设计思想是，将一个难以直接解决的大问题，分割成一些规模较小的相同问题，以便各个击破，分而治之。

 

可行性：如果原问题可分割成k个子问题（1＜k≤n），且这些子问题都可解，并可利用这些子问题的解求出原问题的解，那么这种分治法就是可行的。

 

一、递归算法：程序直接或间接调用自身的编程技巧

 

1、优点：一个过程或函数在其定义或说明中又直接或间接调用自身的一种方法，它通常把一个大型复杂的问题层层转化为一个与原问题相似的规模较小的问题来求解，递归策略只需少量的程序就可描述出解题过程所需要的多次重复计算，大大地减少了程序的代码量。

 

2、递归需要有边界条件、递归前进段和递归返回段。

 

（1）、当边界条件不满足时，递归前进；

（2）、当边界条件满足时，递归返回。

注意：在使用递增归策略时，必须有一个明确的递归结束条件，称为递归出口，否则将无限进行下去（死锁）。

 

3、缺点：

递归算法解题的运行效率较低。

在递归调用过程中，系统为每一层的返回点、局部变量等开辟了堆栈来存储。递归次数过多容易造成堆栈溢出等。

 

二、分治策略：

 

分治策略是对于一个规模为n的问题，若该问题可以容易地解决（比如说规模n较小）则直接解决，否则将其分解为k个规模较小的子问题，这些子问题互相独立且与原问题形式相同。

分治法在每一层递归上都有三个步骤：

（1）、分解：将原问题分解为若干个规模较小，相互独立，与原问题形式相同的子问题；

（2）、解决：若子问题规模较小而容易被解决则直接解，否则递归地解各个子问题；

（3）、合并：将各个子问题的解合并为原问题的解。

 

在用分治法设计算法时，最好使子问题的规模大致相同。如分成大小相等的k个子问题，许多问题可以取k＝2。

这种使子问题规模大致相等的做法是出自一种平衡（Balancing）子问题的思想，它几乎总是比子问题规模不等的做法要好。

 

分治法的适用条件：

（1）该问题的规模缩小到一定的程度就可以容易地解决；

（2）该问题可以分解为若干个规模较小的相同问题，即该问题具有最优子结构性质；

（3）利用该问题分解出的子问题的解可以合并为该问题的解；

（4）该问题所分解出的各个子问题是相互独立的，即子问题之间不包含公共的子问题。

 

1、采用分治策略找出第K小的元素

         分析：利用快速排序算法的思想

          参考代码如下：

//在a[left,right]中选择第k小的元素
int select(int left,int right,int k)
{
    //找到了第k小的元素
    if(left>=right) return a[left];
    int i=left;            //从左到右的指针
    int j=right+1;        //从右到左的指针
    //把最左边的元素作为分界数据
    int pivot=a[left];
    // 把左侧≥pivot的元素与右侧≤pivot的元素交换
    while(true)
    {
        //在左侧寻找≥pivot的元素
        do{
            i+=1;
        }while(a[i]<pivot);
        //在右侧寻找≤pivot的元素
        do{
            j-=i;
        }while(a[j]>pivot);
        if(i>=j) break;        //没有发现交换对象
        swap(a[i],a[j]);
    }
    if(j-left+1==k) return pivot;
    a[left]=a[j];            //存储pivot
    a[j]=pivot;
    if(j-left+1<k)
    //对一个段进行递归调用
        return select(j+1,right,k-j+left-1);
    else
        return select(left,j-1,k);
}

2、输油管道问题

分析：思考可发现实质就是求解中位数问题。 思路：中心输油管道去到所有油井的距离的中位数。

参考代码如下：

#include<bits/stdc++.h>
using namespace std;
int main()
{
    int n;
    int x;
    int a[1000];
    cin>>n;
    for(int i=1;i<=n;i++)
        cin>>x>>a[i];
    sort(a+1,a+n+1);
    int sum=0;
    for(int i=1;i<=n;i++)
        sum+=(int)fabs(a[i]-a[n/2]);
    cout<<sum<<endl;
}