洛谷3964 松鼠聚会

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p3964

解题思路

首先学习一下曼哈顿距离和切比雪夫距离即二者之间的转换。

那根据切比雪夫距离的定义，只要x, y这个点到它周围八个点的距离都是一的话，就是使用的切比雪夫距离。
对于给出的n个点，选择其中一个点并计算它到其他点的距离的话，由于切比雪夫距离定义为：d = max(|x1 - x2|,|y1 - y2|) 。计算所有点到当前点距离的时间复杂度为O（n）。那n个点就是O(n²)。时间上来说并不理想。
我们可以把给出的坐标转换为曼哈顿距离，曼哈顿距离的定义是 d = |x1 - x2| + |y1 - y2|。对于x_i来说所有点到他的距离为 d = |x₁ - x_i| + |x₂ - x_i| + … + |x_n - x_i|
通过对所有点的x进行排序，就可以将公式里的绝对值去掉。
式子变为了 d = x_i - x₁ + x_i - x₂ +… + x_i - x_i + x_i+1 - x_i + … + x_n - x_i 也就是位置 i 之前的全变为x_i减去当前点x值，i后面的全都不变。
再进行整理得到

进行一次遍历找到最小的距离即可，在转换的时候，可以先不除二，为了避免浮点数运算。在求出距离后再对距离除二即可。

参考博客：
https://blog.youkuaiyun.com/Code92007/article/details/103241897
https://www.cnblogs.com/adelalove/p/8612540.html
https://blog.youkuaiyun.com/qq_41997978/article/details/103213051?utm_source=app

AC代码

#include <iostream>
#include <algorithm>

using namespace std;

typedef long long ll;

struct node
{
	ll x, y;
};

struct node a[100010];
ll x[100010], y[100010];
ll sumx[100010],sumy[100010];

int main()
{
	int n;
	
	cin >> n;
	
	for (int i=1; i<=n; i++)
	{
		cin >> x[i] >> y[i];
		a[i].x = x[i] + y[i];
		a[i].y = x[i] - y[i];
		x[i] = a[i].x, y[i] = a[i].y;
	}
	
	sort (x+1, x+n+1);
	sort (y+1, y+n+1);
	
	for (int i=1; i<=n; i++)
	{
		sumx[i] = sumx[i-1] + x[i];
		sumy[i] = sumy[i-1] + y[i];
	}
	
	ll minnum = 8e18;
	
	for (int i=1; i<=n; i++)
	{
		int locationx = lower_bound(x+1, x+n+1, a[i].x) - x;
		int locationy = lower_bound(y+1, y+n+1, a[i].y) - y;
		ll temp = locationx * a[i].x - sumx[locationx] + (sumx[n] - sumx[locationx]) - (n-locationx)*a[i].x;
		temp += locationy * a[i].y - sumy[locationy] + (sumy[n] - sumy[locationy]) - (n - locationy) * a[i].y;
		minnum = min(minnum, temp);
	}
	
	cout << minnum / 2 << endl;
	
	
	return 0;
}