最容易理解的lowbit解析

本文探讨了树状数组中重要的LowBit函数,该函数通过x与-x的按位与运算获取从低位到高位第一个1的位置对应的二进制数。这一操作在树状数组中起到关键作用,其简洁的实现得益于计算机底层补码机制。通过原码求补码的小技巧,我们可以快速找到所需位,从而提高树状数组的性能。

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lowbit(x)得到的是:从低位到高位数,第一个数字1的位置得到的二进制数

比如8=1000,lowbit(8) = 8 2=10 , lowbit(2) = 2, 5 = 110 lowbit(6) = 2

既然这一步是树状数组中最常用的一步,那么树状数组的性能就跟这一步息息相关,所以lowbit的实现非常简单

lowbit(x) = x & (-x)

所以说,大道至简啊,看上去非常简单的一个函数表达式,但是能完美解决我们的问题。

其实这个方法是用到了计算机底层计算用到的是补码的机制。


原码求补码有一个小技巧,那就是除去符号位,从右往左第一个1的下一位开始,所有位直接取反,这个不知道的可以去好好复习一下补码

从右往左第一位,看到这个是不是突然发现有点意思了。一个是原码,一个是补码,如果两个数&一下的话,补码跟原码有相同位的,是不是只有从右往左的第一个1?那么求与的话就肯定能得到我们想要的答案了


### 下载 Popper.min.js 文件的方法 对于希望获取 `popper.min.js` 的开发者来说,可以通过多种方式来实现这一目标。通常情况下,推荐通过官方渠道或可靠的分发网络 (CDN) 来获得最新的稳定版文件。 #### 使用 CDN 获取 Popper.min.js 最简单的方式之一是从流行的 CDN 中加载所需的 JavaScript 库。这不仅简化了集成过程,还可能提高性能,因为许多用户已经缓存了来自这些服务提供商的内容。例如: ```html <script src="https://cdn.jsdelivr.net/npm/@popperjs/core@2/dist/umd/popper.min.js"></script> ``` 这种方式不需要手动下载文件到本地服务器;只需将上述 `<script>` 标签添加至 HTML 文档中的适当位置即可立即使用 Popper 功能[^1]。 #### 从 npm 或 yarn 安装 如果项目采用模块化构建工具链,则可以直接利用包管理器如 npm 或 Yarn 进行安装。命令如下所示: ```bash npm install @popperjs/core # 或者 yarn add @popperjs/core ``` 之后可以根据具体需求引入特定功能模块,而不是整个库,从而减少打包后的体积并优化加载速度[^2]。 #### 访问 GitHub 发布页面下载压缩包 另一种方法是访问 Popper.js 的 [GitHub Releases](https://github.com/popperjs/popper-core/releases) 页面,在这里可以选择不同版本的 tarball 或 zip 归档进行下载解压操作。这种方法适合那些偏好离线工作环境或是想要定制编译选项的人群[^3]。 #### 手动克隆仓库 最后一种较为少见但也可行的办法便是直接克隆完整的 Git 存储库副本。这样可以获得开发分支以及历史记录等更多信息,适用于贡献代码或者深入学习内部机制的情况。 ```bash git clone https://github.com/popperjs/popper-core.git cd popper-core ``` 完成以上任一途径后便能成功取得所需版本的 Popper.min.js 文件,并将其应用于个人项目之中[^4]。
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