Leetcode-公共子序列

Leetcode-公共子序列

基本思路

子	连续与否
最长子序列(LCS)	不要求连续性
字串/字数组	要求连续性

启发思路：本质是选/不选，考虑test1和test2的最后字母x，y，有四种情况：

s1	s2	s3	s4
不选x不选y	不选x选y	选x不选y	选x选y

暴力解法-回溯硬搜

回溯三问：

步骤	描述	公式
当前操作	s[i],t[j]选，还是不选	~
子问题（等式左边）	s的前i个字母和t的前j个字母的最长子序列长度	~
子子问题（等式右边）	s的前(i-1)个字母和t的前(j-1)个字母的LCS长度	dfs(i-1,j-1)+s[i]==t[j]
~	s的前(i-1)个字母和t的前j个字母的LCS长度	dfs(i-1,j)
~	s的前i个字母和t的前(j-1)个字母的LCS长度	dfs(i,j-1)

递归公式为：
$$\begin{gathered} dfs(i,j)=max(dfs(i-1,j),dfs(i,j-1),dfs(i-1,j-1)+1)ifs[i]==t[j] \\ dfs(i,j)=max(dfs(i-1,j),dfs(i,j-1),dfs(i-1,j-1))ifs[i]!=t[j] \end{gathered}$$
注意：都选和都不选的子问题是相同的，都会递到i-1和j-1
思考1:当s[i]==t[j]时需要考虑保留其中一个的可能么,即当二者相同时，还需要考虑s(i-1)和t(j)之间的最小子序列长度么，它的长度会比二者相同时，都加入子序列的这种情况更长么
$$\exists dfs(i-1,j),dfs(i,j-1)>dfs(i-1,j-1)+1?$$
图中s[i] == t[j], 则有x=dfs(i-1,j-1)，设dfs(i-1,j)>x+1,（也意味着有考虑的意义）
此时考虑若去掉c，则abd和ab的子序列为>x,但二者都是s和t的子序列，其子序列只能<=x,矛盾，所以dfs(i-1,j)<=dfs(i-1,j-1)

思考2:当s[i]!=t[j]时需要考虑保留两个的可能么：
$$\exists dfs(i-1,j-1)>dfs(i-1,j)ordfs(i-1,j-1)>dfs(i,j-1)?$$同样不必，因为dfs(i-1,j)和dfs(i，j-1)>=dfs(i-1,j-1)。
综上，递归公式为：
$$\begin{gathered} dfs(i,j)=dfs(i-1,j-1)+1s(i)=t(j) \\ dfs(i,j)=max(dfs(i-1,j),dfs(i,j-1))s(i)!=t(j) \end{gathered}$$
边界条件：
当s or t 便利至空，表示非空字符串和空字符串的公共子序列长度，即：

if i<0 or j<0:
	return 0

动态规划

回溯→递推
叶子节点→初始化

def func_base(text1,text2):
	m = len(text1)
	n = len(text2)
	f = [[0] * (n+1) for _ in range(m+1)]
	for i in range(m):
		for j in range(n):
			if text1[i] == text2[j]:
				f[i+1,j+1] = f[i,j]+1
			else:
				f[i+1,j+1] = max(f[i+1,j],f[i,j+1])
return f[m][n]

空间优化1：
使用两个数组，
(两层循环：text1枚举一个x，便利text2）

def func_base(text1,text2):
	m = len(text1)
	n = len(text2)
	#f = [[0] * (n+1) for _ in range(m+1)]
	f_even = [0]*(n+1)
	f_odd = [0]*(n+1)
	for i in range(m):
		if i%2==0:		# even
			for j in range(n):
				if text1[i] == text2[j]:
					f_even[j+1] = f_odd[j]+1
				else:
					f_even[j+1] = max(f_even[j],f_odd[j+1])
		elif i%2 ==1:
			for j in range(n):
				if text1[i] == text2[j]:
					f_odd[j+1] = f_even[j]+1
				else:
					f_odd[j+1] = max(f_odd[j],f_even[j+1])
return f_even[n] if m%2 == 1 else f_odd[n]

空间优化2
修改为一个数组
f[i+1,j+1]涉及到的元素：

数组元素	description
f[i+1,j]	[m+1,n+1]阵列的左边，使用一维数组为f[j]
f[i,j+1	[m+1,n+1]阵列的上一行，使用一维数组为f[j+1]
f[i,j]	[m+1,n+1]阵列的左上，使用一维数组会被阵列的左边覆盖，所以需要单独保存

def func_base(text1,text2):
	m = len(text1)
	n = len(text2)
	f = [[0] * (n+1)]
	for i in range(m):
		pre = 0
		for j in range(n):
			tmp = f[j+1]
			if text1[i] == text2[j]:
				f[j+1] = pre+1
			else:
				f[j+1] = max(f[j],f[j+1])
		pre = tmp
return f[n]