190512 | 整数拆分

题目描述
一个整数总可以拆分为2的幂的和，例如： 7=1+2+4 7=1+2+2+2 7=1+1+1+4 7=1+1+1+2+2 7=1+1+1+1+1+2 7=1+1+1+1+1+1+1 总共有六种不同的拆分方式。 再比如：4可以拆分成：4 = 4，4 = 1 + 1 + 1 + 1，4 = 2 + 2，4=1+1+2。 用f(n)表示n的不同拆分的种数，例如f(7)=6. 要求编写程序，读入n(不超过1000000)，输出f(n)%1000000000。

输入描述:
每组输入包括一个整数：N(1<=N<=1000000)。

输出描述:
对于每组数据，输出f(n)%1000000000。

示例1

输入
7

输出

6

思路： 我没有思路。大佬的思路是找规律。
搬运一下思路：
记f(n)为n的划分数，我们有递推公式：
f(2m + 1) = f(2m)，
f(2m) = f(2m - 1) + f(m)，

初始条件：f(1) = 1。

证明:
证明的要点是考虑划分中是否有1。
记:
A(n) = n的所有划分组成的集合，
B(n) = n的所有含有1的划分组成的集合，
C(n) = n的所有不含1的划分组成的集合，
则有: A(n) = B(n)∪C(n)。
又记:
f(n) = A(n)中元素的个数，
g(n) = B(n)中元素的个数，
h(n) = C(n)中元素的个数，
易知: f(n) = g(n) + h(n)。

以上记号的具体例子见文末。

我们先来证明: f(2m + 1) = f(2m)，
首先，2m + 1 的每个划分中至少有一个1，去掉这个1，就得到 2m 的一个划分，故 f(2m + 1)≤f(2m)。
其次，2m 的每个划分加上个1，就构成了 2m + 1 的一个划分，故 f(2m)≤f(2m + 1)。
综上，f(2m + 1) = f(2m)。

接着我们要证明: f(2m) = f(2m - 1) + f(m)，
把 B(2m) 中的划分中的1去掉一个，就得到 A(2m - 1) 中的一个划分，故 g(2m)≤f(2m - 1)。
把 A(2m - 1) 中的划分加上一个1，就得到 B(2m) 中的一个划分，故 f(2m - 1)≤g(2m)。
综上，g(2m) = f(2m - 1)。

把 C(2m) 中的划分的元素都除以2，就得到 A(m) 中的一个划分，故 h(2m)≤f(m)。
把 A(m) 中的划分的元素都乘2，就得到 C(2m) 中的一个划分，故 f(m)≤h(2m)。
综上，h(2m) = f(m)。

所以: f(2m) = g(2m) + h(2m) = f(2m - 1) + f(m)。

这就证明了我们的递推公式。

代码：

#include <iostream>
#define Maxsize 1000001
using namespace std;

int main()
{
    //f(2m + 1) = f(2m)，
    //2m) = f(2m - 1) + f(m)，
    int n;
    int result[Maxsize];
    result[0]=result[1]=1;
    for(int i=2;i<Maxsize;++i){
        if(i%2==0){
            result[i]=(result[i-1]+result[i/2])%1000000000;
            }else{
            result[i]=result[i-1]%1000000000;
        }
    }
    while(cin>>n)//scanf("%d",&n)!=EOF
        cout<<result[n]<<endl;
    return 0;
}

知识点：

• 左移运算符
  关于移位的运算有这样的等价关系：把整数右移一位和把整数除以2在数学上是等价的。
  a << = 1 ; //a左移一位等效于a = a * 2; *:乘法符号，下同
  a << = 2 ; //a左移2位等效于a = a * 2的2次方（4）；

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Reference：
[1] 异或位左移右移运算符详解