数值分析之牛顿插值

牛顿插值核心在于差商表的计算

我之前很蠢的去用n阶差商表达式计算n阶差商，然后还在想，嗯？这和lagrange有啥大的区别吗？感觉难写又难算。。咳。。总之就是用你输入的节点值信息计算生成一个表，添加节点或者删去节点都只是在表中多添加一行，表中行列值相同的就是牛顿插值多项式的系数，用它们可以估计点的大小。

如何生成表？

我有一系列的节点信息值，作为第一列，第二列的值是前面那一列的差商，第三列的值是第二列值的差商，直到前一列只剩下1个值，停止更新表。

float arr_x[100] = {1,1.05,1.1,1.15,1.2,1.25,1.3};
 float arr_y[10][10];
 float y[10] = { 1, 1.02470, 1.04881,1.07238,1.09544,1.11803,1.14017 };
 for (int i = 0; i <= 6; i++) {
  arr_y[i][0] = y[i];
  cout << arr_y[i][0] << " ";
 }

构造一个二维数组存放表（这里值得注意的是，一维数组的运算是比二维数组快的，所以只要运用好对应关系，这里应该可以优化。。不过我现在还是思考如何把表画出来再说）

按照列数从左往右算，第一列已知，第二列的第二个数等于第一列第二行减去第一列第一行再除以横坐标之差，依次可以算出第二列，第三列的计算如上，只不过除以的被除数需要改变，为两格的距离，第四列为三格距离。由此可以得到如下表达。

void calculate_newton(int n) {
 int dVaule = 1;
 // i表示列数
 for (int i = 0; i < n; i++) {
  //j表示行数
  for (int j = i; j < n; j++) {
   float f = (arr_y[j+1][i] - arr_y[j][i]) / (arr_x[j + 1] - arr_x[j + 1 - dVaule]);
   arr_y[j + 1][i + 1] = f;
  }
  dVaule += 1;
 }
}

值得注意的点是我将表定义在主函数之外，因为我指针用的很糊涂，所以在写子函数的时候二重指针地址如何传递过去我没有搞懂。所以就放在using namespace std;语句后面了。

写法有很多，i等于j的节点就是牛顿插值多项式的插值基函数系数，根据公式就很容易得到，而且新增节点就更新一下arr_y即可。删除同理。