傅里叶变换和快速傅里叶变换

傅里叶变换（Fourier Transform）和快速傅里叶变换（Fast Fourier Transform，简称FFT）是信号处理领域的两个基本概念。它们在分析不同频率成分在信号中的角色方面起着关键作用。

傅里叶变换（FT）：

1.定义：傅里叶变换是一种数学变换，用以分析不同频率成分在信号中的作用。它可以将一个在时域（或空间域）的信号转换到频域。

2.连续傅里叶变换：对于连续的信号，使用积分形式的傅里叶变换来表示：

F(ω) = ∫(−∞ to ∞) f(t) e^(−jωt) dt

其中，f(t) 是时域信号，F(ω) 是频域信号，ω 是角频率，j 是虚数单位。

3.离散傅里叶变换：对于离散的信号，使用求和形式的傅里叶变换来表示：

F(k) = ∑(n=0 to N−1) f(n) e^(−j(2π/N)kn)

其中，f(n) 是时域序列，F(k) 是频域序列，N 是样本点数。

傅里叶变换（Fourier Transform）和快速傅里叶变换（Fast Fourier Transform，简称FFT）是信号处理领域的两个基本概念。它们在分析不同频率成分在信号中的角色方面起着关键作用。

快速傅里叶变换（FFT）：
 

1. 定义：快速傅里叶变换是计算离散傅里叶变换（DFT）的一种高效算法，并且是数字信号处理中最基本的算法之一。

2. 目的：FFT的主要目的是减少计算DFT时所需要的乘法和加法操作的数量，从而加快处理速度。

3. 算法：FFT利用了DFT中的对称性和周期性，通过将DFT分解为较小的DFTs来提高效率。最常用的FFT算法是基于分治策略的Cooley-Tukey算法，它将一个N点的DFT分解为两个N/2点的DFTs。

对比来看，FFT并不是另外一种变换，而是DFT的一种快速计算方法。在实际应用中，例如图像处理、音频分析、通信系统等，通常使用FFT算法来计算离散傅里叶变换，因为其相比直接计算DFT大大减少了计算量。

例如，直接计算一个N点的DFT需要O(N^2) 次复数乘法，而FFT可以将这个计算量减少到 O(N\log N) 次，这对于大规模的数据处理来说是一个巨大的改进。

注：

O(N^2)是一种表示算法时间复杂度（或者说计算量）的大O符号表示法。它表示算法的运行时间（或者计算量）与输入规模N的平方成正比。

具体来说，在这个上下文中，O(N^2)表示随着数据点数N的增加，计算量呈二次增长。也就是说，计算量的增长速度与N的平方成正比。这意味着在直接计算N点DFT时，需要进行O(N^2)次复数乘法。

举个例子，假设有一个算法的时间复杂度为O(N^2)，当N为100时，该算法需要进行10000次操作；当N为1000时，该算法需要进行1000000次操作。可以看到，随着N的增加，计算量呈二次增长。

因此，从O(N^2)到O(NlogN)的改进，如FFT算法将计算量从二次增长降低到对数线性增长，可以极大地提高大规模数据处理的效率。