用fft求大数乘法

Au羊

已于 2023-06-28 14:47:19 修改

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文章标签：算法

于 2022-11-20 02:01:01 首次发布

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设要求c=a·b，其中a的第i位为 $a_i$ ，b、c类似。

从系数序列的角度看，将a表示为系数序列 $a=[a_0, a_1, ..., a_n-1]$ ，A=fft(a)，b、c类似，则根据乘法计算法则，c=a*b（a与b的卷积）。卷积可以通过fft来计算，即C = fft(a*b)=A·B，c=ifft(C)。由于fft的时间复杂度为o(nlog n)，故两个n位数乘法的时间复杂度为o(nlog n)。

求fft(a)实际上是在求多项式 $f_a(x)=a_0+a_1*x+a_2*x^2+...+a_{n-1}*x^{n-1}$ 在x=1, $W$ , $W^2$ ,..., $W^{n-1}$ 处的值，其中 $W=e^{-i\frac{2\pi}{n}}$ ，故也可以从多项式的角度看。

从多项式的角度看，a用多项式表示为 $f_a(x)=a_0+a_1*x+a_2*x^2+...+a_{n-1}*x^{n-1}$ 。如果能高效地求出 $f_a(x)$ 在某n个点处的取值，就能将这几个点分别对应相乘，求出 $f_c(x)$ 在n个点处的取值，再用某种插值算法求出c多项式的系数，即可求出c。通过从系数序列角度启发，我们知道确实有这样的n个点，即x=1, $W$ , $W^2$ ,..., $W^{n-1}$ ，能够高效地求出这些点的取值（fft）。求出c对应的多项式在这n个点处的取值后，我们又发现当已知 x=1, $W$ , $W^2$ ,..., $W^{n-1}$ 处点的取值时，确实存在高效的插值算法（ifft），能求出c多项式的系数。