斐波那契数列两种算法的时间复杂度_求解飞波那些数列递归算法和非递归算法两种算法的时间复杂度-优快云博客

关于斐波那契数列的简介：

斐波那契数列，又称黄金分割数列，指的是这样一个数列：0、1、1、2、3、5、8、13、21、34、……在数学上，斐波纳契数列以如下被以递归的方法定义：F（0）=0，F（1）=1，F（n）=F(n-1)+F(n-2)（n≥2，n∈N*）在现代物理、准晶体结构、化学等领域，斐波纳契数列都有直接的应用，为此，美国数学会从1963起出版了以《斐波纳契数列季刊》为名的一份数学杂志，用于专门刊载这方面的研究成果。

具体题目：

求解斐波那契数列的F(n)有两种常用算法：递归算法和非递归算法。试分析两种算法的时间复杂度。

1.递归算法

#include<iostream>
  using namespace std;
 
 long Fibonacci(int n) {
      if (n == 0)
          return 0;
      else if (n == 1)
         return 1;
     else
         return Fibonacci(n - 1) + Fibonacci(n-2);
 }
 
 int main() {
     cout << "Enter an integer number:" << endl;
     int N;
     cin >> N;
     cout << Fibonacci(N) << endl;
     system("pause");
     return 0;
 }

时间复杂度分析：

求解F(n),必须先计算F(n-1)和F(n-2),计算F(n-1)和F(n-2)，又必须先计算F(n-3)和F(n-4)。。。。。。以此类推，直至必须先计算F(1)和F(0),然后逆推得到F(n-1)和F(n-2)的结果，从而得到F(n)要计算很多重复的值，在时间上造成了很大的浪费，算法的时间复杂度随着N的增大呈现指数增长，时间的复杂度为O(2^n)，即2的n次方

2.非递归算法

#include<iostream>
 using namespace std;

long Fibonacci(int n) {
     if (n <= 2)
         return 1;
     else {
         long num1 = 1;
         long num2 = 1;
         for (int i = 2;i < n - 1;i++) {
             num2 = num1 + num2;
             num1 = num2 - num1;
         }
         return num1 + num2;
     }
 }
 
 int main() {
     cout << "Enter an integer number:" << endl;
     int N;
     cin >> N;
     cout << Fibonacci(N) << endl;
     system("pause");
     return 0;
 }