《算法导论》Ch.4_学习笔记

原创于 2024-10-30 21:27:33 发布 · 1.3k 阅读

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#算法 #学习 #笔记 #学习方法 #数据结构

<分治策略>

分治策略三步骤：

分解：将问题划分为一些子问题，子问题的形式与原问题一样，只是规模更小。
解决：递归地求解出子问题，如果子问题地规模足够小，则停止递归，直接求解。
合并：将子问题地解组合成原问题地解。

递归情况：子问题足够大，需要递归求解。
基本情况：子问题足够小，不再需要递归时。

求解递归式的三种方法

代入法：猜测一个界，通过数学归纳法验证其正确性。
递归树法：将递归式转换为一棵树，其结点表示不同层次的递归调用产生的代价，采用边界和技术来求解递归式。
主方法(主推)
$T(n)=aT(n/b)+f(n)$ ，其中 $a\geqslant 1$ ， $b\geqslant 1$ ， $f(n)$ 是一个给定的函数。
该问题生成a个子问题，每个子问题的规模是原问题规模的1/b，分解和合并步骤总共花费时间为 $f(n)$ 。

技术细节，一般忽略

n值的奇偶
边界条件，即n很小时

4.1最大子数组问题

最大子数组：最大的非空连续子数组，寻找子数组A[low..high]，一般会出现以下三种情况：

完全位于子数组A[low.. mid]中，因此low≤i≤j≤mid
完全位于子数组A[mid+1..high]中，因此mid≤i≤j≤high
跨越了中点，因此low≤i≤mid≤j≤high

原方案一个个计算 $\begin{pmatrix} 2\\ n \end{pmatrix}$ ，分治策略中对于重复运算的可直接调用，减少运算时间。

获得运行时间递推式T(n)为，得解为

4.2 矩阵乘法的Strassen算法

使用下标计算，简单的分治算法得到的递推关系式为

花费时间为

Strassen算法

减少一次矩阵乘法带来的代价可能是额外几次 $\frac{2}{n}$ × $\frac{2}{n}$ 矩阵的乘法。

将输入矩阵A、B和输出矩阵C分解为 $\frac{2}{n}$ × $\frac{2}{n}$ 的子矩阵。采用下标计算法，此步骤花费时间为 $\Theta(1)$ 。
创建10个n/2×n/2的矩阵S1,S2,……,S10，每个矩阵保存步骤1中创建的两个子矩阵的和或差。花费时间为 $\Theta(n^{2})$ 。
用步骤1中创建的子矩阵和步骤2中创建的10个矩阵，递归计算7个矩阵积P1，P2，…，P7。每个矩阵Pi都是 $\frac{2}{n}$ × $\frac{2}{n}$ 的。
通过矩阵Pi的不同组合进行加减运算，计算出结果矩阵C的子矩阵 $C_{11}$ ， $C_{12}$ ， $C_{21}$ ， $C_{22}$ 。花费时间为 $\Theta(n^{2})$ 。

4.3用代入法求解递归式

猜测解的形式（类似的证明递归式较松的上界和下界，然后缩小不确定的范围）。
用数学归纳法求出解中的常数，并证明解是正确的。

4.4用递归式方法求解递归式

每个结点表示一个单一子问题的代价，子问题对应某次递归函数调用。将树中每层中的代价求和，得到每层代价后将所有层的代价求和，得到所有层次的递归调用的总代价。

4.5用主方法求解递归式

$T(n)=aT(n/b)+f(n)$ ，其中 $a\geqslant 1$ ， $b> 1$ ， $f(n)$ 是渐进正函数。

主定理

令 $a\geqslant 1$ ， $b> 1$ 是常数，是定义在非负整数上的递归式 $T(n)=aT(n/b)+f(n)$

其中将n/b解释为⌈n/b⌉ ⌊n/b⌋。那么T(n)有如下渐近界：

若对某个常数ε＞0有 $f(n)=O(n^{log_{b}^{a- \varepsilon}})$ ，则 $T(n)=\Theta(n^{log_{b}^{a}})$
若 $f(n)=\Theta(n^{log_{b}^{a}})$ ，则 $T(n)=\Theta(n^{log_{b}^{a}}lgn)$
若对某个常数ε＞0有 $f(n)=\Omega(n^{log_{b}^{a+\varepsilon}})$ ，且对某个常数 $c<1$ 和所有足够大的n有 $af(n/b)\leq cf(n)$ ，则 $T(n)=\Theta(f(n))$ 。

Monge阵列

对一个m×n的实数阵列A，若对所有满足1≤i≤k≤m和1≤j≤l≤n的i，j，k和l有A[i, j]+ A[k, l] ≤A[i, l]+ A[k, j]，则称A是Monge阵列。即，无论何时选出Monge阵列的两行两列，对于交叉点上的4个元素，左上和右下两个元素之和总是小于等于坐下和右上元素之和。