dp on 凸壳总结&gym 101806 T Touch The Sky 题解

dp on 凸壳总结&gym 101806 T Touch The Sky 题解

我也不知道这个玩意究竟叫什么。。。。

对于这样的dp问题：

$d{p}_{i,j}=\min (d{p}_{i-1,j},d{p}_{i-1,j-1}+w_i)$,(for example :Touch The Sky)

求任意的$d{p}_{i,j}$。

可以发现$d{p}_i$形成了一个凸壳（$d{p}_{i,j}-d{p}_{i,j-1}\ge d{p}_{i,j-1}-d{p}_{i,j-2}$）。

上述dp有两种转移：

• $d{p}_{i,j}=d{p}_{i-1,j}$,直接复制上一个，没啥好说的。
• $d{p}_{i,j}=d{p}_{i-1,j-1}+w_i$，其实可以这样理解：将$d{p}_{i,j}$与$d{p}_{i,j-1}$的差值与$w_i$取一个min。

所以我们可以

若我们维护差分数组 ：$c_j$=$d{p}_{i,j}-d{p}_{i,j-1}$

则在$c_j\ge w_i$的部分，所有的$d{p}_i$都为$d{p}_{i-1}$向上移动$w_i$位，并向右移动一位。

我们只需要在那个维护c数组的平衡树中插入一个$wi$即可。同时维护前缀和。

我们回到上面的那一个问题，Touch The Sky。

这里需要有一个限制$d{p}_{i-1,j-1}\le L_i\iff d{p}_{i-1,j-1}+W_i\le L_i+W_i=L{\prime }_i$

这其实非常好办。

只需要在那个treap里删除最后一个满足上述条件的位置即可。

这样我们就可以将一个看似没有办法优化的二维dp优化到了$O(n^2)$,是不是非常神奇！

但是有人会说：“treap也太难打了吧，这么长的代码比赛怎么来得及写啊！”。

先别着急，Touch The Sky 这题的确可以不使用treap。

我们先看看最终题目是要求什么？并不是任意的$d{p}_{i,j}$而是凸壳的最上面的那一点的横坐标!再看看$L{\prime }_i$有什么性质,对，递增，这可以保证凸壳的最高点只会升高不会降低！（为啥递增很多题解都解释的非常清楚了，这里就不多说了）

所以我们从前到后考虑，每次加入一个差分值：$W_i$。若$sum>L{\prime }_i$，就删除最后的那一个（最大的那一个）$prefixsum\le L{\prime }_i$的差分值（这里的prefix sum位再treap里维护的前缀和），可以发现就是最大的那一个（前面已经分析了$L{\prime }_i$递增）。

所以priority_queue就ok了。

代码也就十多行。