Python实战开发及案例分析（6）—— 动态规划

        动态规划（Dynamic Programming, DP）是一种解决复杂问题的算法，它通过将问题分解成较小的子问题，并利用这些子问题的解来有效解决整个问题。动态规划特别适用于具有重叠子问题和最优子结构的问题。

案例分析：斐波那契数列

        斐波那契数列是动态规划常见的入门示例，其中每个数字是前两个数字的和。问题可以描述为：给定一个整数 𝑛n，计算斐波那契数列的第 𝑛n 项。

递归方法

        一种简单的实现是使用递归，但这种方法效率低下，因为它重复计算了许多子问题。

def fibonacci(n):
    if n <= 1:
        return n
    else:
        return fibonacci(n-1) + fibonacci(n-2)

# 测试
print(fibonacci(10))  # 输出第10项斐波那契数

动态规划方法

        动态规划通过存储先前计算的结果来避免重复计算，显著提高效率。

自顶向下的带备忘录的递归方法：

def fibonacci_memo(n, memo={}):
    if n in memo:
        return memo[n]
    if n <= 1:
        return n
    memo[n] = fibonacci_memo(n-1, memo) + fibonacci_memo(n-2, memo)
    return memo[n]

# 测试
print(fibonacci_memo(10))

自底向上的迭代方法：

def fibonacci_dp(n):
    if n <= 1:
        return n
    fib = [0] * (n+1)
    fib[1] = 1
    for i in range(2, n+1):
        fib[i] = fib[i-1] + fib[i-2]
    return fib[n]

# 测试
print(fibonacci_dp(10))

案例分析：背包问题

背包问题是另一个经典的动态规划问题。给定一组物品，每个物品都有重量和价值，确定哪些物品应包含在内，以便背包的总重量不超过给定限制且总价值最大。

问题设定

• 物品重量：weights = [1, 3, 4, 5]
• 物品价值：values = [1, 4, 5, 7]
• 背包容量：W = 7

动态规划实现

def knapsack(W, weights, values):
    n = len(values)
    dp = [[0 for x in range(W+1)] for x in range(n+1)]

    for i in range(1, n+1):
        for w in range(1, W+1):
            if weights[i-1] <= w:
                dp[i][w] = max(dp[i-1][w], dp[i-1][w-weights[i-1]] + values[i-1])
            else:
                dp[i][w] = dp[i-1][w]
    return dp[n][W]

# 测试
weights = [1, 3, 4, 5]
values = [1, 4, 5, 7]
W = 7
print(knapsac