泰勒展开

泰勒展开是对函数一个范围的拟合多项式.
设$g(x)$为对应函数,$f(x)$为拟合多项式.
若$g(x)$在$(a,b)$处存在$n+1$阶导数,任取$x_0\in (a,b)$,则可得到$n$次泰勒多项式:
$f(x)={\sum }_{i=0}^n\frac{g^{(i)}(x)}{i!}(x-x_0{)}^i+R_n(x)$,
其中$g^{(i)}$为$g$的$i$阶导函数,$R_n(x)$表示$n$阶泰勒余项.

个人理解:
假设$g(x)={\sum }_{i=0}^{n}G[i]\ast (x-x_0{)}^i$
设$\Delta x\approx 0$.
则$g^{(i)}(x)\approx G[i]\ast i!$
所以正确.

令$n=+\infty$,则得到泰勒级数.
$x_0=0$处的泰勒级数称为麦克劳林级数.