蜀传之单刀赴会

题目描述

【题目背景】

公元215年，刘备取益州，孙权令诸葛瑾找刘备索要荆州。刘备不答应，孙权极为恼恨，便派吕蒙率军取长沙、零陵、桂阳三郡。长沙、桂阳蜀将当即投降。刘备得知后，亲自从成都赶到公安(今湖北公安)，派大将关羽争夺三郡。孙权也随即进驻陆口，派鲁肃屯兵益阳，抵挡关羽。双方剑拔弩张，孙刘联盟面临破裂，在这紧要关头，鲁肃为了维护孙刘联盟，不给曹操可乘之机，决定当面和关羽商谈。“肃邀羽相见，各驻兵马百步上，但诸将军单刀俱会”。双方经过会谈，缓和了紧张局势。随后，孙权与刘备商定平分荆州，“割湘水为界，于是罢军”，孙刘联盟因此能继续维持。

---

【问题描述】

关羽受鲁肃邀请，为了大局，他决定冒险赴会。他带着侍从周仓，义子关平，骑着赤兔马，手持青龙偃月刀，从军营出发了，这就是历史上赫赫有名的“单刀赴会”。关羽平时因为军务繁重，决定在这次出行中拜访几个多日不见的好朋友。然而局势紧张，这次出行要在限定时间内完成，关公希望你能够帮助他安排一下行程，安排一种出行方式，使得从军营出发，到达鲁肃处赴会再回来，同时拜访到尽可能多的朋友，在满足这些条件下行程最短。注意拜访朋友可以在赴会之前，也可以在赴会之后。现在给出地图，请你完成接下来的任务。

输入

第一行$n,m,k,t$，代表有$n$个地点，$m$条道路,有$k$个朋友(不包括鲁肃)，以及限定时间$t$(行走$1$单位长度的路程用时$1$单位时间)。
接下来m行，每行有$x,y,w$三个整数，代表$x$和$y$之间有长度为$w$的道路相连。
接下来一行有$k$个整数，代表朋友所在的都城编号(保证两两不同，且不在$1$和$n$)
（我们约定1是关羽的营地，n是鲁肃的营地）

输出

输出两个整数，分别是最多可以拜访的朋友数，以及在这种情况下最少需要耗费的时间，如果连到达鲁肃再回来都无法完成，输出一个$-1$就可以了。

样例输入

$5$ $7$ $2$ $15$
$1$ $2$ $5$
$1$ $3$ $3$
$2$ $3$ $1$
$2$ $4$ $1$
$3$ $4$ $4$
$2$ $5$ $2$
$4$ $5$ $3$
$2$ $4$

样例输出

$2$ $14$

提示

【数据规模和约定】
有$10$%数据，$n\le 10,m\le 50,k\le 5$;
有$10$%数据，$k=0$;
有$10$%数据，$k=1$;
另$30$%数据，$k\le 5$;
对于$100$%数据，$n\le 10000,m\le 50000,k\le 15,t\le 2147483647,w\le 10000$

---

解析

首先，我们会发现其实有用点只有$k$个朋友与起点、终点共$k+2$个点。
而$k\le 15$，因此数据范围急剧下降。
因为要求最短路，我们可以先对这些点以各点为源点做$k+2$次单源最短路，统计出这些有用点之间的最短路
之后考虑状压（$k$那么小，不状压还能咋做？）
$f[sta][i]$表示已经走过的点的集合为$sta$，当前在$i$的最少时间
$f[sta][i]=min(f[st{a}^{\prime }][j]+dis(i,j))(j\in st{a}^{\prime },st{a}^{\prime }\subset sta,sta-st{a}^{\prime }=$ { $i$ } $)$

最后统计答案时，优先保证状态合法（时间要$\le t$）且$1$的个数尽量多，再考虑路径最短。
注意：DP出来的结果是不回到起点的，最终统计时要对$f[sta][i]+dis(i,1)$取$min$

代码

#include<queue>
#include<stdio.h>
#include<cstring>
#define mp(x , y) make_pair(x , y)
using namespace std;
const int maxk = 20;
const int maxn = 10005;
const int maxe = 50005;
const int oo = 1000000000;
priority_queue < pair < int , int > , vector < pair < int , int > > , greater < pair < int , int > > > Heap;
int d[maxn];
int n;
int edgenum;
int Next[maxe << 1] , vet[maxe << 1] , val[maxe << 1] , head[maxn];
int a[maxk] , D[maxk][maxk];
int f[1 << maxk][maxk] , one_num[1 << maxk];
int min(int x , int y){return x < y ? x : y;}
void add_edge(int u , int v , int cost)
{
	edgenum++;
	Next[edgenum] = head[u];
	vet[edgenum] = v;
	val[edgenum] = cost;
	head[u] = edgenum;
}
void Dijkstra(int s)
{
	for(int i = 1;i <= n;i++) d[i] = oo;
	d[s] = 0;
	Heap.push(mp(d[s] , s));
	while(!Heap.empty())
	{
		int u = Heap.top().second , dis = Heap.top().first;
		Heap.pop();
		if(d[u] != dis) continue;
		for(int e = head[u];e;e = Next[e])
		{
			int v = vet[e];
			if(d[v] > d[u] + val[e]) d[v] = d[u] + val[e] , Heap.push(mp(d[v] , v));
		}
	}
}
int main()
{
	int m , k ,t;
	scanf("%d%d%d%d",&n,&m,&k,&t);
	while(m--)
	{
		int u , v , cost;
		scanf("%d%d%d",&u,&v,&cost);
		add_edge(u , v , cost);
		add_edge(v , u , cost);
	}
	Dijkstra(1);
	if(d[n] + d[n] > t)
	{
		puts("-1");
		return 0;
	}
	a[1] = 1;
	for(int i = 2;i <= k + 1;i++) scanf("%d",&a[i]);
	a[k + 2] = n;
	k += 2;
	for(int i = 1;i <= k;i++)
	{
		Dijkstra(a[i]);
		for(int j = 1;j <= k;j++) D[i][j] = D[j][i] = d[a[j]];
	}
	memset(f , 0x3f3f3f , sizeof f);
	f[1][1] = 0;
	for(int sta = 2;sta < (1 << k);sta++)
	{
		for(int i = 1;i <= k;i++)
		{
			if(!(sta & (1 << i - 1))) continue;
			for(int j = 1;j <= k;j++)
			{
				if(!(sta & (1 << j - 1))) continue;
				f[sta][i] = min(f[sta][i] , f[sta - (1 << i - 1)][j] + D[i][j]);
			}
		}
	}
	one_num[0] = 0;
	for(int i = 1;i < (1 << k);i++) one_num[i] = one_num[i >> 1] + (i & 1);
	int cnt = 2 , ans = oo;
	for(int sta = 0;sta < (1 << k);sta++)
	{
		if(!(sta & (1 << k - 1)) || !(sta & 1)) continue;
		if(one_num[sta] < cnt) continue;
		int res = oo;
		for(int i = 1;i <= k;i++)
		{
			if(!(sta & (1 << i - 1))) continue;
			res = min(res , f[sta][i] + D[i][1]);
		}
		if(res > t) continue;
		if(one_num[sta] == cnt) ans = min(ans , res);
		else if(one_num[sta] > cnt) ans = res , cnt = one_num[sta];
	}
	printf("%d %d\n",cnt - 2 , ans);
	return 0;
}