花匠（最长波浪子序列——DP + 权值线段树）

题目描述

花匠栋栋种了一排花，每株花都有自己的高度。花儿越长越大，也越来越挤。栋栋决定把这排中的一部分花移走，将剩下的留在原地，使得剩下的花能有空间长大，同时，栋栋希望剩下的花排列得比较别致。
具体而言，栋栋的花的高度可以看成一列整数$h_1$,$h_2$, $\dots$ , $h_n$。设当一部分花被移走后，剩下的花的高度依次为$g_1$, $g_2$, $\dots$ , $g_n$，则栋栋希望下面两个条件中至少有一个满足：
条件 $A$：对于所有的$i$，$g_{2i}$ > $g_{2i-1}$，且$g_{2i}>g_{2i+1}$；
条件 $B$：对于所有的$i$，$g_{2i}<g_{2i-1}$，且$g_{2i}<g_{2i+1}$。
注意上面两个条件在$m=1$时同时满足，当$m>1$时最多有一个能满足。
请问，栋栋最多能将多少株花留在原地。

输入

输入的第一行包含一个整数n，表示开始时花的株数。
第二行包含n个整数，依次为$h_1$, $h_2$, $\dots$ , $h_n$，表示每株花的高度。

输出

输出一行，包含一个整数

样例输入

$5$
$5$ $3$ $2$ $1$ $2$

样例输出

$3$

提示

【输入输出样例说明】

有多种方法可以正好保留 3 株花，例如，留下第 1、4、5 株，高度分别为 5、1、2，满足条件 B。

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【数据范围】

对于 $20$%的数据，$n\le 10$；
对于 $30$%的数据，$n\le 25$；
对于 $70$%的数据，$n\le 1000$，$0\le h_i\le 1000$；
对于 $100$%的数据，$1\le n\le 100,000$，$0\le h_i\le 1,000,000$，所有的$h_i$ 随机生成，所有随机数服从某区间内的均匀分布。

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题目有点长，说白了就是求原序列的最长波浪子序列
我们可以借鉴求最长上升子序列$（LIS）$的方法，先想一个$1D/1D$的$DP$
状态：$f[i][0/1]$表示以$i$为结尾的最长波浪子序列的长度，且$a[i]$是峰/谷
$f[i][0]=max(f[j][1]+1)$
$f[i][1]=max(f[j][0]+1)$
$(1\le j＜i)$
初值：$f[i][0/1]=1$
终值：$max(f[i][0/1])$

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然后我们非常开心的发现它超时了o(￣︶￣)o

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好，我们现在来用牛刀 （权值线段树） 杀只鸡
用$b[i][0/1]$表示以值为$i$为结尾的且$i$为峰/谷的最长波浪子序列长度那么只要维护这个$b$数组即可
$f[i][0]=max(b[j][1]+1)(0\le j＜i)$
$f[i][0]=max(b[j][0]+1)(i＜j\le maxh)$
权值线段树区间查询，单点修改，轻松。

#include<cstdio>
using namespace std;
const int maxn = 100005;
const int maxh = 1000000;
int a[maxn] , f[maxn][2];
inline int max(int x , int y){return x > y ? x : y;}
inline int read()
{
	char ch = getchar();
	while(ch < '0' || ch > '9') ch = getchar();
	int res = 0;
	while(ch >= '0' && ch <= '9') res = (res << 3) + (res << 1) + (ch ^ 48) , ch = getchar();
	return res;
}
struct ST
{
	private:
		int tree[maxh << 2][2];
	public:
		void change(int p , int l , int r , int x , int k , int id)
		{
			if(l == r)
			{
				tree[p][id] = max(tree[p][id] , k);
				return;
			}
			int mid = (l + r) >> 1;
			if(x <= mid) change(p + p , l , mid , x , k , id);
			else change(p + p + 1 , mid + 1 , r , x , k , id);
			tree[p][id] = max(tree[p + p][id] , tree[p + p + 1][id]);
		}
		int query(int p , int l , int r , int x , int y , int id)
		{
			if(x > y) return 0;
			if(l == x && r == y) return tree[p][id];
			int mid = (l + r) >> 1;
			if(y <= mid) return query(p + p , l , mid , x , y , id);
			else if(x > mid) return query(p + p + 1 , mid + 1 , r , x , y , id);
			else return max(query(p + p , l , mid , x , mid , id) , query(p + p + 1 , mid + 1 , r , mid + 1 , y , id));
		}
}st;
int main()
{
	int n = read();
	for(int i = 1;i <= n;i++) a[i] = read();
	f[1][0] = f[1][1] = 1;
	st.change(1 , 0 , maxh , a[1] , 1 , 0);
	st.change(1 , 0 , maxh , a[1] , 1 , 1);
	for(int i = 2;i <= n;i++)
	{
		f[i][0] = st.query(1 , 0 , maxh , 0 , a[i] - 1 , 1) + 1;
		f[i][1] = st.query(1 , 0 , maxh , a[i] + 1 , maxh , 0) + 1;
		st.change(1 , 0 , maxh , a[i] , f[i][0] , 0);
		st.change(1 , 0 , maxh , a[i] , f[i][1] , 1);
	}
	int ans = 0;
	for(int i = 1;i <= n;i++) ans = max(ans , max(f[i][0] , f[i][1]));
	printf("%d\n",ans);
	return 0;
}