任务安排（SDOI2012）斜率优化进阶

题目描述

$N$个任务排成一个序列在一台机器上等待完成（顺序不得改变），这$N$个任务被分成若干批，每批包含相邻的若干任务。从时刻$0$开始，这些任务被分批加工，第$i$个任务单独完成所需的时间是$T_i$。在每批任务开始前，机器需要启动时间S，而完成这批任务所需的时间是各个任务需要时间的总和（同一批任务将在同一时刻完成）。每个任务的费用是它的完成时刻乘以一个费用系数$C_i$。
请确定一个分组方案，使得总费用最小。

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数据规模

$1\le N\le 3\ast 10^{5}0\le S,C\le 512-512\le T\le 512$

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思路

首先，这还是个很明显的划分类$DP$。
直接上状态：$f[i][j]$表示前i个任务分成j批的最小代价。
易得$f[i][j]=minf[k][j-1]+(j\ast s+su{m}_T[i])\ast (su{m}_C[i]-su{m}_C[k])$
但是这个状态已经是$O(n^2)$级别的了
/-----------华---------丽-----------丽---------的-----------分---------割---------线-----------/
然后，我们会发现限制状态的最大因素就是$j$。
整个转移中唯一与j有关的就是$“j\ast s”$
因此，我们是否可以想办法将它去掉呢？
考虑在第i个任务结束后重新分一组，那么对第$i+1$ ~ $n$ 个任务的影响就是加上了$(su{m}_C[n]-su{m}_C[i])\ast s$
那么，我们就可以将j这维状态直接去掉
状态就变成了：$f[i]$表示前i个任务的最小代价
转移：$f[i]=minf[i],f[j]+(su{m}_C[i]-su{m}_C[j])\ast (s+su{m}_T[i])+(su{m}_C[n]-su{m}_C[i])\ast s$

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-----------华---------丽-----------丽---------的-----------分---------割---------线-----------

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然后，我们又发现，这是个非常经典的$1D/1D$动态规划
显然是无法通过$30W$级别的数据。
考虑优化，对于一道一维状态的$DP$题，优化方向依然只有一个——转移。
（否则把状态优化了不就成了贪心吗？）
如何减少重复或不必要的枚举呢？
设$1\le j1<j2<i$
则对于$i$的决策，$j_2$比$j_1$优等价于满足
$f[j_2]+(su{m}_C[i]-su{m}_C[j_2])\ast (s+su{m}_T[i])<$
$f[j_1]+(su{m}_C[i]-su{m}_C[j_1])\ast (s+su{m}_T[i])$
简单的打开并整理过后就得到了
$(f[j_2]-f[j_1])-s\ast (su{m}_C[j_2]-su{m}_C[j_1])$
------------------------------------------------------------------------$<su{m}_T[i]$
$su{m}_C[j_2]-su{m}_C[j_1]$

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但这道题与$hdu3057$不同之处便是$su{m}_T[i]$不单调了
但是，仔细思考，这并没有破坏队尾维护的性质，即我们依然可以维护一个单调队列（实则是一个单调栈）
而区别就是现在取值的时候，要在这个单调序列中二分出一个斜率与$su{m}_T[i]$最为接近的值

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（$Tips$：写读优的同志们千万别忘了：此题有负数！此题有负数！此题有负数！本人就$WA$了半个小时$QAQ$）
注：对斜率优化基础还不理解的可以参考斜率优化基础

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代码

#include<cstdio>
using namespace std;
struct node
{
	long long t , c;
}
sum[300005];
long long f[300005];
int q[300005];
long long s;
inline int read()
{
	char ch = getchar();
	int flag = 1;
	while(ch < '0' || ch > '9')
	{
		if(ch == '-') flag = -1;
		ch = getchar();
	}
	int x = 0;
	while(ch >= '0' && ch <= '9') x = x * 10 + ch - 48 , ch = getchar();
	return x * flag;
}
inline bool cmp1(int j2 , int j1 , long long k)
{
	return f[j2] - f[j1] - s * (sum[j2].c - sum[j1].c) <= k * (sum[j2].c - sum[j1].c);
}
inline bool cmp2(int j3 , int j2 , int j1)
{
	return (f[j3] - f[j2] - s * (sum[j3].c - sum[j2].c)) * (sum[j2].c - sum[j1].c) <= (f[j2] - f[j1] - s * (sum[j2].c - sum[j1].c)) * (sum[j3].c - sum[j2].c);
}
inline int find(int l , int r , long long key)
{
	while(l < r)
	{
		int mid = (l + r) >> 1;
		if(cmp1(q[mid + 1] , q[mid] , key)) l = mid + 1;
		else r = mid;
	}
	return q[r];
}
int main()
{
	int n = read();
	s = read();
	for(int i = 1;i <= n;i++)
	{
		int t = read() , c = read();
		sum[i].t = sum[i - 1].t + t;
		sum[i].c = sum[i - 1].c + c;
	}
	int head = 1 , tail = 1;
	q[1] = 0;
	f[0] = 0;
	for(int i = 1;i <= n;i++)
	{
		int loc = find(head , tail , sum[i].t);
		f[i] = f[loc] + (s + sum[i].t) * (sum[i].c - sum[loc].c) + (sum[n].c - sum[i].c) * s;
		while(head < tail && cmp2(i , q[tail] , q[tail - 1])) tail--;
		q[++tail] = i;
	}
	printf("%lld\n",f[n]);
	return 0;
}