day 42 ● 01背包问题，你该了解这些！ ● 01背包问题，你该了解这些！滚动数组 ● 416. 分割等和子集

最新推荐文章于 2025-12-31 21:25:26 发布

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#算法

本文介绍了如何将二维动态规划背包问题转换为一维滚动数组形式，通过调整遍历顺序并优化空间复杂度，求解物品价值在给定背包容量下的最大值。作者还提到了一个特殊情况，即物品重量和价值相同，目标是求和等于总和的一半，实际操作中限制了问题规模。

看了题解。dp[i][j]的含义：从下标为[0-i]的物品里任意取，放进容量为j的背包，价值总和最大是多少。状态转移方程：dp[i][j] = max(dp[i - 1][j], dp[i - 1][j - weight[i]] + value[i]);

要统计选那些物体，背包重量，物体价值，假设物体价值作为结果，那么需要二维数组。

还有要注意初始化：

dp[0][j]，即：i为0，存放编号0的物品的时候，各个容量的背包所能存放的最大价值。

那么很明显当 j < weight[0]的时候，dp[0][j] 应该是 0，因为背包容量比编号0的物品重量还小。

当j >= weight[0]时，dp[0][j] 应该是value[0]，因为背包容量放足够放编号0物品。

#include<bits/stdc++.h>
using namespace std;
int n,bg;

void run(){
    vector<int> weight(n,0);
vector<int> value(n,0);
    for(int i=0;i<n;i++){
        cin>>weight[i];
    }
    for(int i=0;i<n;i++){
        cin>>value[i];
    }
    vector<vector<int>> dp(weight.size(),vector<int>(bg+1,0));
    for(int i=weight[0];i<=bg;i++){
        dp[0][i]=value[0];
    }
    for(int i=1;i<n;i++){
        for(int j=0;j<=bg;j++){
            if(weight[i]>j) {
            dp[i][j]=max(dp[i][j],dp[i-1][j]);
            }
            else
            dp[i][j]=max(dp[i-1][j],dp[i-1][j-weight[i]]+value[i]); //注意能放得下不代表要放
        }
    }
    cout<<dp[weight.size()-1][bg]<<endl;
}
int main(){
    while(cin>>n>>bg){
        run();
        
    }
    return 0;
}

上面题目改为用滚动数组解决。滚动数组的由来，需要满足的条件是上一层可以重复利用，直接拷贝到当前层。在一维dp数组中，dp[j]表示：容量为j的背包，所背的物品价值可以最大为dp[j]。二维dp遍历的时候，背包容量是从小到大，而一维dp遍历的时候，背包是从大到小：为了避免覆盖。再来看看两个嵌套for循环的顺序，代码中是先遍历物品嵌套遍历背包容量，那可不可以先遍历背包容量嵌套遍历物品呢？不可以。

#include<bits/stdc++.h>
using namespace std;
int n,bg;

void run(){
    vector<int> weight(n,0);
vector<int> value(n,0);
    for(int i=0;i<n;i++){
        cin>>weight[i];
    }
    for(int i=0;i<n;i++){
        cin>>value[i];
    }
    vector<int> dp(bg+1,0);

    for(int i=0;i<n;i++){
        for(int j=bg;j>=weight[i];j--){
            
  
            dp[j]=max(dp[j],dp[j-weight[i]]+value[i]); //注意能放得下不代表要放
        }
    }
    cout<<dp[bg]<<endl;
}
int main(){
    while(cin>>n>>bg){
        run();
        
    }
    return 0;
}

我原本的想法是分成两个数组，那么需要一个数组为加，另一个为减，加起来为0就行。但是不太好写成动态规划。

其实可以看成是物体的重量和价值是一样的，我没想到的是要凑成总和的一半，实际上是不可能大于总和的一半的，所以也就是可以求最大。转化为动态规划。

class Solution {
public:
    bool canPartition(vector<int>& nums) {
        int sum=0;
        for(int i=0;i<nums.size();i++){
            sum+=nums[i];
        }

        vector<int> dp(10001,0);
        if(sum%2!=0) return false;
        int target=sum/2;
        for(int i=0;i<nums.size();i++){
            for(int j=target;j>=nums[i];j--){
                dp[j]=max(dp[j],dp[j-nums[i]]+nums[i]);
            }
        }
        if(dp[target]==target) return true;
        return false;
    }
};