浅谈----次小生成树_次小生成树算法应用广吗-优快云博客

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本文深入探讨了次小生成树的概念与算法实现，通过对比最小生成树，讲解了如何寻找次小生成树的两种方法：暴力枚举与高级替换策略，提供了算法的时间复杂度分析。

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前置技能：

知道怎么搞出最小生成树（即K算法和P算法）

这里给出一些定义：

定义次小生成树为所有生成树中第二小的（可能不止一个）
有用边为原最小生成树的任意边
无用边为不在原最小生成树的任意边

所以推理得出以下结论

1. 至少有一条边在次小生成树中而不在最小生成树中

2. 次小生成树肯定是某条无用边的对应最小生成树
首先**答案肯定不是某条有用边的对应最小生成树，由结论1我们可以得到某条在次小生成树而不在最小生成树上的边，我们称它为Z
显然Z是条无用边，因为他不在原最小生成树上
因为我们已经把它加入到答案中，于是答案的边集和原最小生成树的边集必定是不同的，于是我们剩下只需要最小化Z所在生成树的权值（即找到Z的对应最小生成树），这棵生成树就是答案啦

3. 任意无用边的对应最小生成树肯定不是一开始求的原最小生成树

接下来便是生成次小生成树的方法这里给出两种

方法一------- 暴力~~（万物皆可暴力）~~

1.生成最小生成树
2.枚举删去最小生成树的边求解				（时间复杂度O(nmlogm））

方法二------- 高级方法

1.设max[i][j]表示在最小生成树中任意两个点i,j的唯一路径中权值最大的那条边的权值
												（max[][]可由O（n*n）求出）
2.枚举不再原最小生成树上的边map[i][j],加入边map[i][j]替换为max[i][j]的边
  求出当前生成树的权值Ans Ans=Ans+map[i][j]-max[i][j]
3.不断枚举更新生成树的最小值，即可求出次小生成树      （ 时间复杂度为O（n*n+m））