2019.8.3模拟赛 T1

1 Problem

题意：给定$n(n\le 10^{18})$，求$n$唯一分解中质因数幂次最小值吗，$T$个询问$(T\le 5\cdot 10^4)$（是不是很简洁呀）

2 Solve

2.1 50 10分

$T\le 10^3$， $n\le 10^3$
对每个询问，从$2$到$sqrt(n)$枚举$i$，对每个$i$
while(n%i==0){n/=i;cnt++;}
if(cnt) ans = min(ans,cnt);
然而实测能过$n\le 10^{18}$（雾）
（不知道是不是数据太水了）

2.2 30分

$T\le 10^3,n\le 10^9$
同上，加个素数筛
然而得分还没有直接枚举高
数组开不下是真的伤

2.3 正解（玄学）

（证明附在解法后，和我一样一脸懵逼的可以跳过）
先处理出$\sqrt[5]{10^{18}}$以内的素数（只有 不到600个）
对每个询问$n$，
先暴力除掉这些素数，同时记录$min\_pow$
然后对除掉这些素数后的$n$，依次判断：
如果$n$为$k^4$，$ans=min(ans,4)$
如果$n$为$k^3$，$ans=min(ans,3)$
如果$n$为$k^2$，$ans=min(ans,2)$
否则$ans=min(ans,1)=1$
输出$ans$

没想到吧！我也没有
先呈上程序

#include<bits/stdc++.h>
using namespace std;

template<typename T>
inline void Read(T &n){
	char ch;bool flag=0;
	while(!isdigit(ch=getchar()))if(ch=='-')flag=1;
	for(n=ch^48;isdigit(ch=getchar());n=(n<<1)+(n<<3)+(ch^48));
	if(flag)n=-n;
}											//快读

typedef long long ll;
const ll MAXN = 4005;
const double eps = 1e-5;                    //注意精度（这道题卡精度）
ll Prime[600],top,n,A,B;
bool Is_Prime[MAXN];
int cnt,ans=INT_MAX,T;

bool Is_Pow(ll n,int k){                   //判断是否为k次方
    double t=pow(n,1.0/k);
    return (abs(round(t)-t)<eps);
}

inline void Get_Prime(){                   //筛3981（五次根号1e18）以内的质数
	memset(Is_Prime,true,sizeof(Is_Prime));
	for(register ll i=2; i<=3981; i++){
		if(!Is_Prime[i]) continue;
		for(register ll j=i; j<=3981; j+=i)
			Is_Prime[j]=false;
		Prime[++cnt]=i;
	}
}

int main(){
//	freopen("A.in","r",stdin);
//	freopen("A.out","w",stdout);
	Get_Prime();
	Read(T);
	while(T--){
		Read(n);
		ans=INT_MAX;
		top = pow(n,0.2)+5;
		for(register int i=1; Prime[i]<=top&&i<=cnt; i++){ //暴力除掉一部分
			int tot=0;
			while(n%Prime[i]==0){
				n /= Prime[i];
				tot++;
			}
			if(tot) ans = min(ans,tot);
		}
		if(n>1){                                          //若没分解完，特判
			if(Is_Pow(n,4)) ans = min(ans,4);
			else if(Is_Pow(n,3)) ans = min(ans,3);
			else if(Is_Pow(n,2)) ans = min(ans,2);
			else ans = min(ans,1);
		}
		printf("%lld\n", ans);
	}
	return 0;
}

3 Prove

若$n$存在一个素因子$p$且$p$指数为1，$ans=1$

对于其他情况，考虑$n$一定可以表示成$P^2\cdot Q^3$的形式
$\forall p_i(p_i|n)$设其指数为${\alpha }_i$
若${\alpha }_i$为偶数，则直接丢进$P$里，
若${\alpha }_i$为奇数，因为${\alpha }_i̸=1$，所以${\alpha }_i\ge 3$，所以先将一个$p_i^3$丢进$Q$里，那么剩下的${\alpha }_i$一定为偶数，然后丢进$P$中

也就是说$n=P^2\cdot Q^3\iff ans>1$

假设我们已经得到了处理好的$P,Q$，那么$min(P,Q)<=\sqrt[5]{n}$，若不然$P^2\cdot Q^3\ge min(P,Q{)}^5>n$
所以先暴力除掉$\sqrt[5]{n}$以内的素数，然后考虑剩下的素数$p_1,p_2...p_k$，设指数为$q_1,q_2...q_k$
若$\sum q_i\ge 5$，那么$\prod p_i^{q_i}>min(p_i{)}^{\sum q_i}\ge min(p_i{)}^5=n$，舍
所以$\sum q_i<5$，同时注意到$\forall q_i>1$，那么只有这几种情况：
$n=p^2$
$n=p^3$
$n=p^2\cdot q^2$
$n=p^4$
然后判断一下$n$是否为2/3/4次方就好了

特别的，为了方便码，对于$ans=1$的情况，若剩下的$n$不是任何次方，$ans=1$

大功告成！