WOJ 2069 分组背包

1 题面

1.1 描述

一个旅行者有一个最多能装V公斤的背包，现在有n件物品，它们的重量分别是W1,W2,…,Wn,他们的价值分别为C1,C2,…,Cn。这些物品被划分为若干组，每组中的物品互相冲突，最多选一件，求：将那些物品装如背包可使这些物品的费用总和不超过背包的容量，且价值最大

1.2 输入

第1行：三个整数，V,N,T（V<=200,N<=30,T<=10) 第2行到N+1行：每行3个整数Wi,Ci,P，表示每个物品的重量，价值，组号

1.3 输出

一个数，表示最大总价值

1.4 样例

输入

10 6 3
2 1 1
3 3 1
4 8 2
6 9 2
2 8 3
3 9 3

输出

20

1.5 来源

石室联中WOJ

2 分析

裸的板子题
考虑如何做到每个组中最多选一个，当然是按组处理
也就是说第一层循环是对组的循环

再考虑如何限制“最多选一个”，我们来看一般的转移方程：
$if(v\ge w_i)f_v=max(f_v,f_{v-w_i}+c_i)$
考虑到最多选一个，所以采用"01背包"的做法，倒着枚举$v$

若是先循环$i$，再循环$v$，则循环中后面的$i$会用到前面$i$的结果
举个例子，假设某组中分别为$[1,2],[2,3]$（形式为$[w_i,c_i]$）,$V=3$
先对$i=1$来一次循环，$f=[0,2,2,2]$
再对$i=2$来一次，$f=[0,2,3,5]$
答案为$f_3=5$

那么问题来了，真的能取到$5$么？显然不能，因为1和2不能同时取
而这个5的来源便是因为对$i=2$进行循环时，$f_{3-2}=f_1=2$这个结果是通过取1得到的，而此处再取2便得到了5。显然这与题意“每组最多取一个”不符

所以先循环$v$，再循环$i$，这样就保证对每个$i$，算出的结果不会用来和另一个同组的$i$取$max$。举个例子（数据同上）
$v=3,f=[0,0,0,0]$
$v=2,f=[0,0,3,0]$
$v=1,f=[0,2,3,0]$
$v=0,f=[0,2,3,0]$
$\therefore ans=0$

3 代码

#include<bits/stdc++.h>
using namespace std;

template<typename T>
inline void Read(T &n){
	char ch;bool flag=0;
	while(!isdigit(ch=getchar()))if(ch=='-')flag=1;
	for(n=ch^48;isdigit(ch=getchar());n=(n<<1)+(n<<3)+(ch^48));
	if(flag)n=-n;
}

const int MAXV = 205;
const int MAXN = 35;
const int MAXT = 15;

int V, n, K;
int Group[MAXT][MAXN], num[MAXT];
int f[MAXV], w[MAXN], c[MAXN], p[MAXN];

int main(){
	Read(V); Read(n); Read(K);
	for(register int i=1; i<=n; i++){
		Read(w[i]); Read(c[i]); Read(p[i]);
		Group[p[i]][++num[p[i]]] = i;
	}
	for(register int i=1; i<=K; i++)
		for(register int j=V; j>=0; j--)
			for(register int k=1; k<=num[i]; k++){
				int now=Group[i][k];
				if(j >= w[now])
					f[j] = max(f[j], f[j-w[now]]+c[now]);
			}
	cout<<f[V]<<endl;
	return 0;
}