WOJ 2069 分组背包

本文介绍了一道典型的分组背包问题,通过对题目的详细解析,阐述了如何利用01背包的思想解决每组最多选取一个物品的问题,并给出了具体的实现代码。

摘要生成于 C知道 ,由 DeepSeek-R1 满血版支持, 前往体验 >

1 题面

1.1 描述

一个旅行者有一个最多能装V公斤的背包,现在有n件物品,它们的重量分别是W1,W2,…,Wn,他们的价值分别为C1,C2,…,Cn。这些物品被划分为若干组,每组中的物品互相冲突,最多选一件,求:将那些物品装如背包可使这些物品的费用总和不超过背包的容量,且价值最大

1.2 输入

第1行:三个整数,V,N,T(V<=200,N<=30,T<=10) 第2行到N+1行:每行3个整数Wi,Ci,P,表示每个物品的重量,价值,组号

1.3 输出

一个数,表示最大总价值

1.4 样例

输入

10 6 3
2 1 1
3 3 1
4 8 2
6 9 2
2 8 3
3 9 3

输出

20

1.5 来源

石室联中WOJ

2 分析

裸的板子题
考虑如何做到每个组中最多选一个,当然是按组处理
也就是说第一层循环是对组的循环

再考虑如何限制“最多选一个”,我们来看一般的转移方程:
i f ( v ≥ w i ) f v = m a x ( f v , f v − w i + c i ) if(v\geq w_i)f_v=max(f_v,f_{v-w_i}+c_i) if(vwi)fv=max(fv,fvwi+ci)
考虑到最多选一个,所以采用"01背包"的做法,倒着枚举 v v v

若是先循环 i i i,再循环 v v v,则循环中后面的 i i i会用到前面 i i i的结果
举个例子,假设某组中分别为 [ 1 , 2 ] , [ 2 , 3 ] [1,2],[2,3] [1,2],[2,3](形式为 [ w i , c i ] [w_i,c_i] [wi,ci]), V = 3 V=3 V=3
先对 i = 1 i=1 i=1来一次循环, f = [ 0 , 2 , 2 , 2 ] f=[0,2,2,2] f=[0,2,2,2]
再对 i = 2 i=2 i=2来一次, f = [ 0 , 2 , 3 , 5 ] f=[0,2,3,5] f=[0,2,3,5]
答案为 f 3 = 5 f_3=5 f3=5

那么问题来了,真的能取到 5 5 5么?显然不能,因为1和2不能同时取
而这个5的来源便是因为对 i = 2 i=2 i=2进行循环时, f 3 − 2 = f 1 = 2 f_{3-2}=f_1=2 f32=f1=2这个结果是通过取1得到的,而此处再取2便得到了5。显然这与题意“每组最多取一个”不符

所以先循环 v v v,再循环 i i i,这样就保证对每个 i i i,算出的结果不会用来和另一个同组的 i i i m a x max max。举个例子(数据同上)
v = 3 , f = [ 0 , 0 , 0 , 0 ] v=3,f=[0,0,0,0] v=3,f=[0,0,0,0]
v = 2 , f = [ 0 , 0 , 3 , 0 ] v=2,f=[0,0,3,0] v=2,f=[0,0,3,0]
v = 1 , f = [ 0 , 2 , 3 , 0 ] v=1,f=[0,2,3,0] v=1,f=[0,2,3,0]
v = 0 , f = [ 0 , 2 , 3 , 0 ] v=0,f=[0,2,3,0] v=0,f=[0,2,3,0]
∴ a n s = 0 \therefore ans=0 ans=0

3 代码

#include<bits/stdc++.h>
using namespace std;

template<typename T>
inline void Read(T &n){
	char ch;bool flag=0;
	while(!isdigit(ch=getchar()))if(ch=='-')flag=1;
	for(n=ch^48;isdigit(ch=getchar());n=(n<<1)+(n<<3)+(ch^48));
	if(flag)n=-n;
}

const int MAXV = 205;
const int MAXN = 35;
const int MAXT = 15;

int V, n, K;
int Group[MAXT][MAXN], num[MAXT];
int f[MAXV], w[MAXN], c[MAXN], p[MAXN];

int main(){
	Read(V); Read(n); Read(K);
	for(register int i=1; i<=n; i++){
		Read(w[i]); Read(c[i]); Read(p[i]);
		Group[p[i]][++num[p[i]]] = i;
	}
	for(register int i=1; i<=K; i++)
		for(register int j=V; j>=0; j--)
			for(register int k=1; k<=num[i]; k++){
				int now=Group[i][k];
				if(j >= w[now])
					f[j] = max(f[j], f[j-w[now]]+c[now]);
			}
	cout<<f[V]<<endl;
	return 0;
}
评论
添加红包

请填写红包祝福语或标题

红包个数最小为10个

红包金额最低5元

当前余额3.43前往充值 >
需支付:10.00
成就一亿技术人!
领取后你会自动成为博主和红包主的粉丝 规则
hope_wisdom
发出的红包
实付
使用余额支付
点击重新获取
扫码支付
钱包余额 0

抵扣说明:

1.余额是钱包充值的虚拟货币,按照1:1的比例进行支付金额的抵扣。
2.余额无法直接购买下载,可以购买VIP、付费专栏及课程。

余额充值