快速傅里叶变换与数论变换：从FTT到NTT解析-优快云博客

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本文介绍了快速傅里叶变换(FFT)的基本原理，包括快速幂取模、点值表示法、单位根的概念，并详细探讨了如何将FFT应用于数论变换(NTT)。通过对模数P的选择和原根的性质，证明了NTT与FFT的相似性和在模P乘法运算中的应用。文章提供了NTT的计算模板，并指出NTT在快速模运算中的重要性。

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####前置: 快速幂取模（这个假定大家都知道了）

$快速计算\ a^b (mod\ m)\\ \bold{原理:}\ 取模运算的结合率\\x*y(mod\ m)\ =\ x(mod\ m)*y(mod\ m）\\ \bold{快速算法:}\ b为偶数时，可将a^b拆分成a^\frac{b}2*a^\frac{b}2分别取模，将复杂度降低为O(\log_{2}N)$
代码(C++):

int quick_mod (int a, int b, int m) {
   
    int ans = 1;
    a %= m;
    while (b) {
   
        if (b & 1) {
   
            ans = ans * a % m;
            b--;
        }
        b >>= 1;
        a = a * a % m;
    }
    return ans;
}

###正题

我们都知道朴素卷积算法：
$KaTeX parse error: No such environment: equation* at position 39: …_{n-i}\\ \begin{̲e̲q̲u̲a̲t̲i̲o̲n̲*̲}̲ C(x)= \sum_{j=…$
应对超大数乘法时明显太慢。有没有什么办法提高计算速度呢？

####引入函数的点值法表示

$对于任意函数A(x)=\sum_{i=0}^nax^i\\ 任取n+1个不同的值x_0,x_1\cdots x_n,代入A(x)中，\\点值对构成集合\{(x_0,A(x_0)),\ (x_1,A(x_1)), \cdots\ (x_n,A(x_n))\}\\ 不难发现这样的点值对集合和该函数是唯一对应的。\\$

从矩阵角度理解:
$传统的系数表示法可表示为两个向量点积：\\ (这里为了偷懒（不转置）就反过来写了>～<)\\ A(x)= \left[\begin{matrix} x^0&x^1&\cdots&x^{n-1} \end{matrix}\right] \left[\begin{matrix} a_0\\a_1\\\cdots\\a_{n-1} \end{matrix}\right]\\ 而点值表示法：\\ \left[\begin{matrix} A（x_0）\\A（x_1）\\\cdots\\A（x_{n-1}） \end{matrix}\right]= \left[\begin{matrix} {x_0}^0&{x_0}^1&\cdots&{x_0}^{n-1}\\ {x_1}^0&{x_1}^1&\cdots&{x_1}^{n-1}\\ \cdots\\ {x_{n-1}}^0&{x_{n-1}}^1&\cdots&{x_{n-1}}^{n-1} \end{matrix}\right] \left[\begin{matrix} a_0\\a_1\\\cdots\\a_{n-1} \end{matrix}\right]\\ 也即b=Ax的形式\\ 如果A^{-1}存在，即A为非奇异矩阵，\\就可以通过逆矩阵A^{-1},得到系数向量x=A^{-1}b。\\ 两种状态间可以自由转换。\\ \ \\ 问题就转化为找到这样一个非奇异矩阵。\\ 其实不难啦，只要保证对任意x_i\ne x_j,A(x_i)\ne A(x_j)就好啦>\_<\\ 什么？你让我证明一下？同学，不要在trivial的事上浪费时间。\\ 把A看作一个线性变换，既然x_i和A(x_i)一一对应\\ \{x_i\}\leftrightarrow \{A(x_i)\}\\ 毫无疑问存在一个从\{A(x)\}到\{x\}的映射，抵消了A的效果\\ 即存在A^{-1}。\\ 如果你对LA有所了解，你应该知道:\\矩阵非奇异的充要条件是它所代表的线形变换是自同构的(或者说可逆的)。$