POJ-1182 食物链 (带权并查集)

博客围绕A吃B、B吃C、C吃A类关系展开,给出判断假话的条件,包括与前文冲突、X或Y比N大、X吃X。输入个数N和关系个数K及K行关系形式。思路是假设有三个集合放置节点,采用路径压缩快速判断关系,还得出合并的转换关系式。

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题意:有三种A吃B B吃C C吃A类关系(即abc之间有向关系)给出关系然后判断其中部分所给错误的关系数

判定条件:

1) 当前的话与前面的某些真的话冲突,就是假话;
2) 当前的话中X或Y比N大,就是假话;
3) 当前的话表示X吃X,就是假话

输入:给出个数N(1 <= N <= 50,000),关系个数K(0 <= K <= 100,000)然后K行"1 X Y"或者“2 X Y ”形式

思路:根据题目中所给假话(条件)判断原则,所以主要处理的是条件1

根据题目上的三类关系,我们可以尝试假设有三个集合,然后将其中的某个结点假定到某个集合中,然后根据节点关系将其放在不同的集合中,这样就可以快速判断关系。所以就在正确的关系中相同的就合并成一个整体

由于每次新的条件关系判断要基于以前的条件关系判断所以就要快速找到 这两个结点之间的关系,如果这两个结点路径之间还有其他结点那么每次关系判断时就要遍历一边然后利用逻辑加减得出关系就会很麻烦,所以采用路径压缩的方式快速得到集合中这些点之间的关系。

由于题中所给1为同类,2为X吃Y,假定3为Y吃X,这样在之后的路径压缩途中利用某种方式就能得出所对应的关系

然后就是寻找规律最后可以得到(-val[x]+t-1+val[y]+3)%3合并的转换关系式

#include<cstdio>
#include<cstring>
#include <iostream>
#include<algorithm>
using namespace std;
const int maxn=50001;
int pre[maxn],val[maxn];
void init(int n);
int find(int x);
int Union(int t, int x,int y);
int main(){
	int n,k;
	int t,x,y;
	cin>>n>>k;
	init(n);
	int ans = 0;
	for(int i = 0;i<k;i++){
		cin>>t>>x>>y;
		if(x==y&&t==2)
			ans++;
		else if(x>n||y>n)
			ans++;
		else
			ans+=Union(t,x,y); 
	}
	cout<<ans<<endl; 
}
int Union(int t,int x,int y){
	int x1 = find(x);
	int y1 = find(y);
	if(x1==y1){
		if((val[x]-val[y]+3)%3==t-1)
			return 0;
		return 1;
	} 
	pre[x1] = y1;
	val[x1] = (-val[x]+t-1+val[y]+3)%3;
	return 0;
}
int find(int x){
	if(x == pre[x])
		return pre[x];
	int y = find(pre[x]);
		val[x] = (val[x]+val[pre[x]])%3;
	return pre[x] = y; 
}
void init(int n){
	for(int i = 0;i<=n;i++){
		pre[i] = i;
		val[i] = 0;
	}
	return; 
} 

 

 

 

### 并查集算法的时间复杂度分析 并查集是一种高效的用于处理集合合并与查询的算法。在POJ 1182 食物链问题中,使用了并查集来判断动物之间的关系,并且通过路径压缩和按秩合并等优化手段,可以极大地提高算法的效率。 #### 路径压缩的影响 路径压缩是并查集中一种重要的优化技术,它能够将查找过程中经过的所有节点直接连接到根节点上。这种操作使得后续查找的时间复杂度接近于常数[^1]。具体来说,路径压缩后的查找操作时间复杂度可以用阿克曼函数的反函数 \( \alpha(n) \) 来表示,其中 \( n \) 是集合中的元素个数。阿克曼函数的增长速度极慢,因此 \( \alpha(n) \) 在实际应用中几乎可以视为常数。 ```python def Find(x): if x != par[x]: par[x] = Find(par[x]) # 路径压缩 return par[x] ``` #### 按秩合并的作用 按秩合并是一种优化策略,它通过将较小的树合并到较大的树上来减少树的高度。这种方法结合路径压缩后,可以进一步降低操作的时间复杂度[^2]。在实际实现中,可以通过维护一个数组 `rank` 来记录每个集合的深度,并在合并时选择深度较小的树挂接到深度较大的树上。 ```python def Union(x, y): rootX = Find(x) rootY = Find(y) if rootX != rootY: if rank[rootX] > rank[rootY]: par[rootY] = rootX elif rank[rootX] < rank[rootY]: par[rootX] = rootY else: par[rootY] = rootX rank[rootX] += 1 ``` #### 时间复杂度总结 对于 POJ 1182 食物链问题,假设总共有 \( n \) 个动物和 \( m \) 条关系,则初始化并查集的时间复杂度为 \( O(n) \),每次查找或合并操作的时间复杂度为 \( O(\alpha(n)) \)[^2]。由于 \( \alpha(n) \) 的增长极其缓慢,在实际情况下可以认为其为常数。因此,整个算法的时间复杂度主要由关系数量 \( m \) 决定,最终的时间复杂度为 \( O(m \cdot \alpha(n)) \)[^1]。 ### 代码示例 以下是一个完整的并查集实现,适用于 POJ 1182 食物链问题: ```python class UnionFind: def __init__(self, n): self.par = list(range(3 * n)) self.rank = [0] * (3 * n) def Find(self, x): if self.par[x] != x: self.par[x] = self.Find(self.par[x]) return self.par[x] def Union(self, x, y): rootX = self.Find(x) rootY = self.Find(y) if rootX != rootY: if self.rank[rootX] > self.rank[rootY]: self.par[rootY] = rootX elif self.rank[rootX] < self.rank[rootY]: self.par[rootX] = rootY else: self.par[rootY] = rootX self.rank[rootX] += 1 def Same(self, x, y): return self.Find(x) == self.Find(y) ```
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