高数草稿-定积分与不定积分_定积分草纸怎么写-优快云博客

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本文深入讲解了积分的各种求解技巧，包括基础积分逆运算、换元法、分部积分、有理数积分、表格积分法及组合积分法，探讨了奇偶函数在特定区间的性质，同时介绍了反常积分的概念及其敛散性的判断方法。

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本文仅是个人理解，如有谬误，请望矫正

不定积分的求法

1 基础积分逆运算原函数

2 换元法

2.1第一类换元法 ${\color{Red} \int g(x)dx=\int f[\varphi (x)]\varphi '(x)dx= [\int f(u)du]_{u=\varphi (x)}}$

2.2第二类换元法 (凑微分法) ${\color{Red} \int g(x)dx=\int f[\psi (x)]\psi'(x)dx= [\int f(u)du]_{u=\psi ^{-1}(x)}}$ 多用于带平方的根式

${\color{Red} \int\frac{1}{\sqrt{a^{2}-x^{2}}}dx \rightarrow x=asint}$ ${\color{Red} \int\frac{{1} }{ \sqrt {a^{2}+x^{2}}}dx \rightarrow x=atant}$ ${\color{Red} \int\ \frac{1}{\sqrt{x^{2}-a^{2}}}dx \rightarrow x=asect}$

3 分部积分

${\color{Red} \int udv=uv-\int vdu}$

4 有理数的积分

${\color{Red} \frac{P(x)}{Q(x)}=\frac{P_{1}(x)}{Q_{1}(x)}+\frac{P_{2}(x)}{Q_{2}(x)}}$ 可扩展到多项式

5 表格积分法(适用于 ${\color{Red} \int u(x)*v(x)dx}$ 不同类似函数的乘积形式，可用分部积分法证明)

假设 ${\color{Red} u(x)}$ 好求导， ${\color{Red} v(x)}$ 易积分，则 ${\color{Red} u(x)}$ 不断求导， ${\color{Red} v(x)}$ 不断积分

5.1 ${\color{Red} u^k(x)=0\rightarrow \int u(x)*v(x)dx= \sum_{k=0}(-1)^ku^k(x)*v_{k+1}(x)+C }$ 其中u是求导，v是积分，k是阶数

5.2 ${\color{Red} u(x)^k*v(x)_k=m(u(k)*v(k))\rightarrow \int u(x)*v(x)dx= (\sum_{k=0}(-1)^ku^k(x)*v_{k+1}(x))*\frac{m}{m+1}+C}$

5.3 ${\color{Red} \int u(x)^k*v(x)_kdx}$ 易求时， ${\color{Red} \int u(x)*v(x)dx= \sum_{k=0}(-1)^ku^k(x)*v_{k+1}(x)+C+(-1)^{k-1}\int u(x)*v(x)dx }$

6 组合积分法构造一个与积分函数结构相似的积分加起来计算最后分离

微积分

奇函数的定积分在对称区间上=0 偶函数的定积分在[a,0]区间上=2[a,-a]

反常积分

无穷限反常积分：积分区间存在 ${\color{Red} \propto }$ 为反常积分记 ${\color{Red} \int_{\propto }^{b}f(x)dx=\lim_{t \to\propto }\int_{t}^{b}f(x)dx }$ (积分区间上下界均可为 ${\color{Red} \propto }$ )

判断敛散方法

${\color{Red} f(x)}$ 和 ${\color{Red}g(x)}$ 在 ${\color{Red} [a,\propto )}$ 连续,且 ${\color{Red} (a\leq x<+\propto )}$ ，

1 在该区间极限存在收敛，不存在则发散

2 在该区间有上界，则收敛

3 (比较审敛) 若 ${\color{Red}0\leq f(x)\leq g(x)}$ ，如果 ${\color{Red} \int_{a}^{+\propto }g(x)dx}$ 收敛，则 ${\color{Red} \int_{a}^{+\propto }f(x)dx}$ 有上界， ${\color{Red} \int_{a}^{+\propto }f(x)dx}$ 收敛

若 ${\color{Red}0\leq g(x)\leq f(x) }$ ，如果 ${\color{Red} \int_{a}^{+\propto }g(x)dx}$ 发散，则， ${\color{Red} \int_{a}^{+\propto }f(x)dx}$ 也发散

特别的，我们注意 ${\color{Red}\int_{a}^{+\propto }\frac{1}{x^{p}}dx}$ ，当 ${\color{Red}(p> 1 ) \int_{a}^{+\propto }\frac{1}{x^{p}}dx=[\frac{1}{1-p}x^{1-p}]_{a}^{+\propto}=[\frac{1}{1-p}(0-a^{1-p})]=-\frac{1}{1-p}a^{1-p}}$ ， ${\color{Red}\int_{a}^{+\propto }\frac{1}{x^{p}}dx}$ 收敛，当 ${\color{Red}(p\leq 1)\int_{a}^{+\propto }\frac{1}{x^{p}}dx=+\propto }$ 发散，我们可推出下列敛散法

4 ${\color{Red} a>0}$ ，且 ${\color{Red} f(x)\geq 0}$ ，根据(比较审敛),若存在 ${\color{Red} M>0 }$ 和 ${\color{Red} p>1 }$ ，使得 ${\color{Red} f(x)\leq \frac{M}{x^{p}} }$ ，则 ${\color{Red} \int_{a}^{+\propto }f(x)dx}$ 上界 ${\color{Red} \leq -\frac{M}{1-p}a^{1-p}}$ ， ${\color{Red} \int_{a}^{+\propto }f(x)dx}$ 收敛，存在 ${\color{Red} p\leq 1 }$ ，使得 ${\color{Red} f(x)\geq \frac{M}{x^{p}} }$ ， ${\color{Red} \int_{a}^{+\propto }f(x)dx= +\propto }$ ，发散

5 ${\color{Red} a>0}$ ，且 ${\color{Red} f(x)\geq 0}$ ，根据(比较审敛)，若存在 ${\color{Red} p>1 }$ ， ${\color{Red} \because f(x)\leq \frac{M}{x^{p}}\therefore \lim_{x\to +\propto }x^{p}f(x)=M}$ ， ${\color{Red} \int_{a}^{+\propto }f(x)dx}$ 收敛，

存在 ${\color{Red} p\leq 1 }$ ， ${\color{Red} \because f(x)\geq \frac{M}{x^{p}} \therefore \lim_{x\to +\propto }x^{p}f(x)=+\propto}$ ， ${\color{Red} \int_{a}^{+\propto }f(x)dx}$ 发散

6 ${\color{Red} \int_{a}^{+\propto }|f(x)|dx}$ 收敛， ${\color{Red} \int_{a}^{+\propto }f(x)dx}$ 收敛证明: ${\color{Red} \varphi (x)=\frac{1}{2}(f(x)+|f(x)|)\leq |f(x)|}$ ， ${\color{Red} \varphi (x)}$ 收敛， ${\color{Red} \int_{a}^{+\propto }f(x)dx=2\int_{a}^{+\propto }\varphi (x)dx-\int_{a}^{+\propto }f|(x)|dx}$ ，故收敛

无界函数的反常积分:积分区间存在间断点，又叫瑕积分记为 ${\color{Red} \int_{a }^{b}f(x)dx=\lim_{t \to b }\int_{a}^{t}f(x)dx }$ (积分区间上下界均可为 ${\color{Red} t}$ )

敛散方法

${\color{Red} f(x)}$ 在 ${\color{Red} (a, b]}$ 连续且 ${\color{Red} f(x)\geq 0}$ ， ${\color{Red} x= a}$ 为 ${\color{Red} f(x)}$ 瑕点

1 在该区间极限存在收敛，不存在则发散

特别的， ${\color{Red}\int_{a}^{b }\frac{dx}{(x-a)^{p}}dx}$ 当 ${\color{Red}(q<1)\int_{a}^{b }\frac{dx}{(x-a)^{p}}dx=\frac{1}{1-q}(b-a)^{1-q}}$ 收敛， ${\color{Red}(q\geq 1)\int_{a}^{b }\frac{dx}{(x-a)^{p}}dx=+\propto }$ 发散，可推出下列敛散法

2 ${\color{Red} (a\leq x\leq b)}$ 根据(比较审敛)，若存在 ${\color{Red} M>0 }$ 和 ${\color{Red} q<1 }$ ，使得 ${\color{Red} f(x)\leq \frac{M}{(x-a)^{p}} }$ ， ${\color{Red} \int_{a }^{b}f(x)dx}$ 上界 ${\color{Red}\leq \frac{1}{1-q}(b-a)^{1-q}}$ ，则 ${\color{Red} \int_{a }^{b}f(x)dx}$ 收敛，存在 ${\color{Red} N>0 }$ ， ${\color{Red} f(x)\geq \frac{M}{(x-a)} }$ ， ${\color{Red} \int_{a }^{b}f(x)dx=+\propto }$ ，发散

3 根据(比较审敛)，若存在 ${\color{Red} 0<q<1 }$ ， ${\color{Red} \because f(x)\leq \frac{M}{(x-a)^{p}}\therefore \lim_{x\to a+ }(x-a)^{q}f(x)}$ 存在， ${\color{Red} \int_{a }^{b}f(x)dx}$ 收敛，