学习笔记：AES中的数学基础

前一阵密码学课上学AES，其中的字运算用到了一些数学上的知识。做作业的时候是很懵，网上搜了搜也没找到看着特别清楚的教程。不过很感谢老师布置的作业量蛮大的，不悟一些奇技淫巧出来怕是头上有点凉，做着做着就忽然悟出一些技巧来，寻思着发篇博客，不求让别人看了夸我，起码过一阵以后自己回顾一下还能够想起当初的奇技淫巧

1.有限域$GF(2^8)$

设$F_2$是由0和1构成的二元域，用$F_2[x]$表示在$F_2$上的多项式环，找到一个8次不可约多项式$m(x)$（在AES的Rijndeal算法中，约定了$m(x)=x^8+x^4+x^3+x^1+x^0)$，那么$F_2[x]/m(x)$就是一个有限域$GF(2^8)$
这个有限域其实可以看成与一个字节一一对应——$x^k$前的系数就表示第k位的值，比如说：
$x^7+x^5+x^2+x+1$就可以和$10100111$对应起来
在这个域上就可以定义一些运算

（1）加法

这个因为是定义在$F_2$上的，所以其实多项式的系数就是模二加，或者理解为$\oplus$异或也可以
比如说
$10100011+00100100=10000111$
或者表示为
$f_1(x)=x^7+x^5+x+1$
f 2 ( x ) = x 5 + x 2 f_2(x)=x^5+x^2 <