蓝桥杯 历届试题-小朋友排队-树状数组求逆序对数

本文探讨了一种算法问题,即如何最小化一系列小朋友在按身高排序过程中的不高兴程度总和。通过分析逆序对数量,利用树状数组优化算法至nlogn复杂度,实现了高效解决方案。

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n 个小朋友站成一排。现在要把他们按身高从低到高的顺序排列,但是每次只能交换位置相邻的两个小朋友。

每个小朋友都有一个不高兴的程度。开始的时候,所有小朋友的不高兴程度都是0。

如果某个小朋友第一次被要求交换,则他的不高兴程度增加1,如果第二次要求他交换,则他的不高兴程度增加2(即不高兴程度为3),依次类推。当要求某个小朋友第k次交换时,他的不高兴程度增加k。

请问,要让所有小朋友按从低到高排队,他们的不高兴程度之和最小是多少。

如果有两个小朋友身高一样,则他们谁站在谁前面是没有关系的。

样例说明
首先交换身高为3和2的小朋友,再交换身高为3和1的小朋友,再交换身高为2和1的小朋友,每个小朋友的不高兴程度都是3,总和为9。
数据规模和约定
对于100%的数据,1< =n< =100000,0< =Hi< =1000000。

输入
输入的第一行包含一个整数n,表示小朋友的个数。
第二行包含 n 个整数 H1 H2 … Hn,分别表示每个小朋友的身高。
输出
输出一行,包含一个整数,表示小朋友的不高兴程度和的最小值。
样例输入
3
3 2 1
样例输出
9

这道题我是这样理解,对于每个小朋友需要进行交换的最少次数即他左边比他大的+右边比他小的。
每个小朋友交换次数都最少,那总数也必然最少。
这样下来和冒泡一样,
总的来说就是求逆序对的总数么。


实现起来很难受
简单的 -for+for嵌套 n是100000-n^2的复杂度必超时
但是还是写了一下 能骗百分之36的分。
再有更优化的解自己想不出来,看解题报告,基本使用树状数组 来解决的 nlogn的复杂度。
但是 没学过啊,看了一遍博客也没怎么get到。
无奈 只能先放两天。
先放我超时的代码了。
等我学会用树状数组再补上~~~~~~

//超时代码  不可取
#include<stdio.h>
int main(){
	int n;
	int a[100001]; 
	int count =0;
	scanf("%d",&n);
	if(n>10000)//这里是为了测试能过多大的数据 ,,忽略忽略
	{
		printf("-1\n");
		return 0;
	}
	for(int i=0;i<n;i++)
	scanf("%d",&a[i]);
	for(int i=0;i<n;i++)
	{
		int rank=0;
		for(int j=0;j<i;j++)
			if(a[j]>a[i])
             count+=(++rank);
		for(int j=i;j<n;j++)
		if(a[j]<a[i])
			 count+=(++rank);
	}
	printf("%d\n",count);
	return 0;
}

晚上又看了看树状数组,稍微 有点明白了

从二进制上来理解,

/*lowbit 是求这个数二进制表示从右往左 第一个非零的那位所表示的值 也就是2的多少次*/
/*这个函数的实现 则是 位运算,一个整数位与上他的相反数,即正数的补码。
补码 是对原码按位取反(所以第一位非零变成了求第一位0),最后加1,前面的1会进位,第一位非零变为1.
与原码相与,除了那一位 二者都为1.结果为1.其余的都是0,1相与,结果为0.
*/
int lowbit(int x)
{
	return x&(-x);
}
/*这个是查询函数,求从始到x求和。  如果是a[]存储原数据
x是最大数,c[x] 存储的子序列的和是从a[x],a[x-1]······, 这个区间的个数lowbit(x
)的值。从二进制来考虑  x-=lowbit(x);这句话 ,即是x的二进制数减去某一位为1,其他位为0的一个二进制数。
最终x为0,即把原x的每个一都减去了.
int getnum(int x){
	int res=0;
	while(x>0){
		res+=c[x];
		x-=lowbit(x);
	}
	return res;
}
/*这个是更新函数,和查询一样,只不过是加1.
不断地向上更新, 对于每个子序列 ,都加上val值。
void updata(int x,int val){
	while(x<=maxx){
		c[x]+=val;
		x+=lowbit(x);
	}
	
}

这是这道题树状数组的解法,
把小朋友的身高用身高区间上对应的数来表示,有一个小朋友是这个身高,就加1.
正序统计,每到一个小朋友,统计前边比他大的。
逆序统计,每到一个小朋友,统计前面比他小的。
二者之和就是结果。
树状数组用到了求当前已插入队列中比小朋友身高低的个数。
不是n,而是logn.

#include<stdio.h>
#include<algorithm>
#include<string.h>
using namespace std;
int c[1000001],a[100010];
int b[100010];
int maxx=-1;
int n;

int lowbit(int x)
{
	return x&(-x);
}

void updata(int x,int val){
	while(x<=maxx){
		c[x]+=val;
		x+=lowbit(x);
	}
	
}

int getnum(int x){
	int res=0;
	while(x>0){
		res+=c[x];
		x-=lowbit(x);
	}
	return res;
}
int main()
{
	scanf("%d",&n);
	long long cnt=0;
	memset(c,0,sizeof(c));
	memset(b,0,sizeof(b));
	
	for(int i=1;i<=n;i++)
	{
		scanf("%d",&a[i]);
		a[i]++;
		maxx=max(maxx,a[i]);
	}
	
	for(int i=1;i<=n;i++)
	{
		updata(a[i],1);
		b[i]+=(i-getnum(a[i]));
	}
	memset(c,0,sizeof(c));
	
	for(int i=n;i>0;i--){
		updata(a[i],1);
		b[i]+=getnum(a[i]-1);
		
	}
	for(int i=1;i<=n;i++)
	{
		cnt+=((long long )(b[i]+1)*b[i]/2);
		
	}
	printf("%lld\n",cnt);
	return 0;
}
### 使用树状数组(Fenwick Tree)计算逆序对 #### 方法概述 树状数组是一种支持效单点更新和前缀和查询的数据结构,其核心思想是通过一种特殊的二进制表示方法来存储部分前缀和,从而使得每次更新或查询的时间复杂度降至 \(O(\log n)\)[^1]。对于逆序对问题,可以通过从右向左遍历数组的方式,利用树状数组记录已经访问过的元素并统计小于当前元素的数量。 具体做法如下: - 将原数组中的数值离散化为排名值,以便减少内存占用。 - 初始化一个长度等于最大排名值的树状数组- 从右往左依次处理每个元素,先查询该元素之前有多少个大于它的数,再将其加入树状数组中[^2]。 --- #### 核心代码实现 (C++) 以下是基于 C++ 的树状数组实现逆序对计数的具体代码: ```cpp #include <iostream> #include <vector> #include <algorithm> using namespace std; // 定义树状数组类 class FenwickTree { public: vector<int> tree; int size; FenwickTree(int n) : size(n), tree(n + 1, 0) {} // 更新某个位置的值 void update(int index, int value) { while (index <= size) { tree[index] += value; index += index & (-index); } } // 查询某一段区间的前缀和 int query(int index) const { int sum = 0; while (index > 0) { sum += tree[index]; index -= index & (-index); } return sum; } }; int countInversions(vector<int>& nums) { if (nums.empty()) return 0; // 离散化过程 vector<int> sortedNums(nums.begin(), nums.end()); sort(sortedNums.begin(), sortedNums.end()); sortedNums.erase(unique(sortedNums.begin(), sortedNums.end()), sortedNums.end()); auto getRank = [&](const int& num) -> int { return lower_bound(sortedNums.begin(), sortedNums.end(), num) - sortedNums.begin() + 1; }; int rankSize = sortedNums.size(); FenwickTree fenwick(rankSize); long long inversionCount = 0; for (auto it = nums.rbegin(); it != nums.rend(); ++it) { // 反向迭代 int rank = getRank(*it); inversionCount += fenwick.query(rank - 1); // 统计前面比它小的数 fenwick.update(rank, 1); // 插入当前数 } return inversionCount; } int main() { vector<int> nums = {7, 5, 6, 4}; cout << "Number of inversions: " << countInversions(nums) << endl; // 输出应为 5 return 0; } ``` 上述代码定义了一个 `FenwickTree` 类用于管理树状数组的操作,并提供了一种通用的方式来计算任意整数序列中的逆序对数目[^3]。 --- #### 关键点解析 1. **离散化** 原始数组可能包含非常大的整数值,这会显著增加树状数组的空间需。因此,通常需要将原始数组映射到一个小范围内的连续整数集合上,这一过程称为离散化[^4]。 2. **反向遍历** 计算逆序对的关键是从最后一个元素开始逐步向前扫描整个数组。这样做的好处是可以动态维护已知范围内所有可能出现的小于当前元素的次数。 3. **时间复杂度分析** 整个算法由两部分组成:一是排序与去重后的离散化阶段;二是实际运用树状数组完成倒置对统计的部分。总体来看,这两个环节都维持在 \(O(n \log n)\),其中 \(n\) 表示输入列表大小。 --- ###
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