2024江苏省大学生程序设计大赛（JSCPC）热身赛题解（B）

最新推荐文章于 2024-06-01 19:42:08 发布

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#算法

题目大意：

求区间 $[l, r]$ 中有多少正整数满足 $ϕ(ϕ(n))=ϕ(n)−1\phi(\phi(n)) = \phi(n) - 1$ ，其中 $ϕ\phi$ 为欧拉函数。

解：

设 $y=ϕ(n)y=\phi(n)$ ，则上式变为 $ϕ(y)=y−1\phi(y) = y - 1$ ，易证 $y$ 为质数（注意 $ϕ(1)=1\phi(1) = 1$ ， $1$ 与任何正整数都互质）。

故原问题转化为求 $[l, r]$ 中有多少个正整数v满足 $ϕ(v)\phi(v)$ 为质数。

首先 $1$ 的欧拉函数是 $1$ ，不是质数。

考虑欧拉函数的公式 $ϕ(n)=n(1−1p1)(1−1p2)⋅...⋅(1−1pk)=np1p2⋅...⋅pk(p1−1)(p2−1)⋅...⋅(pk−1)\phi(n) = n(1-\frac{1}{p_1})(1-\frac{1}{p_2})\cdot...\cdot(1-\frac{1}{p_k})=\frac{n}{p_1p_2\cdot...\cdot p_k}(p_1-1)(p_2-1)\cdot...\cdot(p_k-1)$