2024江苏省大学生程序设计大赛（JSCPC）热身赛题解（B）

题目大意：

求区间$[l,r]$中有多少正整数满足$\varphi (\varphi (n))=\varphi (n)-1$，其中$\varphi$为欧拉函数。

解：

设$y=\varphi (n)$，则上式变为$\varphi (y)=y-1$，易证$y$为质数（注意$\varphi (1)=1$，$1$与任何正整数都互质）。

故原问题转化为求$[l,r]$中有多少个正整数v满足$\varphi (v)$为质数。

首先$1$的欧拉函数是$1$，不是质数。

考虑欧拉函数的公式$\varphi (n)=n(1-\frac{1}{p_1})(1-\frac{1}{p_2})\cdot ...\cdot (1-\frac{1}{p_k})=\frac{n}{p_1{p}_2\cdot ...\cdot p_k}(p_1-1)(p_2-1)\cdot ...\cdot (p_k-1)$，其中$p_1,p_2,\dots ,p_k$为$n$的所有质因数。

注意到上式中$\frac{n}{p_1{p}_2\cdot ...\cdot p_k}$必定为一个正整数

观察质数$2,3,5,7,9,11,13,...$

1. 若$n$的质因数中包含$\ge 5$的数时，设该数为$m$，则$m-1$一定是一个合数（因为这个范围内的质数一定都是奇数，且每两个质数之差$\ge 2$），故$n$的欧拉函数不是质数。

2. 若$n$的质因数只有$2$或$3$，设$n=2^a{3}^b$，

   • 若$b>1$，则$\frac{n}{p_1{p}_2\cdot ...\cdot p_k}$一定是3的倍数，且$(3-1)=2$同时又是右边的因子，故$n$的欧拉函数一定是合数，不是质数（$n$是$2\times 3$的倍数）。
   • 若$b=0$，则$\varphi (n)=\frac{n}{2}$，只有当$a=2$时$n$的欧拉函数是质数。
   • 若$b=1$，
     • 若$a>1$，则$\frac{n}{p_1{p}_2\cdot ...\cdot p_k}$一定是2的倍数，且$(3-1)=2$同时又是右边的因子，故$n$的欧拉函数一定是合数，不是质数。

接下来讨论$a=0$和$a=1$，最后总结得出欧拉函数为质数的正整数只有$3,4,6$。

int l, r;

// 返回0~x中欧拉函数是质数的数的个数
int ans(int x) {
	if (x >= 6) return 3;
	if (x >= 4) return 2;
	if (x >= 3) return 1;
	return 0;
}

void solve() {
	cout << ans(r) - ans(l - 1) << '\n';
}