动态规划POJ2533最长上升子序列与POJ1458最长公共子序列

铁柱铁柱

于 2020-03-19 15:08:24 发布

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本文深入讲解动态规划的基本概念，通过两个经典案例——最长上升子序列和最长公共子序列，详细阐述了动态规划的实现方法与核心思想。文章提供了完整的代码示例，帮助读者理解动态规划如何解决实际问题。

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动态规划:
- 将一个问题分解成若干个子问题，类似于递归，但是每一个子问题的最优解都是基于上一个子问题的最优解的基础之上，可以用递归实现，但是在实现的过程中，会造成多次运算前面已经算好的最优解，增加不必要的计算，复杂度大。

1、POJ2533最长上升子序列
样例：

1 7 3 5 9 4 8

输出 :4

思路：maxlen[i]数组存放以data[i]为结尾的最长上升序列的长度。maxlen[0]=1。

i从1开始到len-1，j从0开始到i-1，如果data[i]>data[j],那么temp存储maxlen[j]+1;如果temp大于当前的maxlen[i],那么更新。

#include <iostream>
#include <cstdio>
#include <algorithm>
#include <cstring>

using namespace std;

int data[1010];
int  maxlen[1010];

int main() {
	int n;
	scanf("%d",&n);
	int i,j,temp;
	for( i=0; i<n; i++)
		scanf("%d",&data[i]);
	maxlen[0]=1;
	for(i=1; i<n; i++) {
		temp=1;
		for(j=0; j<i; j++) {
			if(data[i]>data[j]) {
				temp=maxlen[j]+1;
			}
			if(temp>maxlen[i])
				maxlen[i]=temp;
		}
	}
	temp=0;
	for(int i=0; i<n; i++)
		if(temp<maxlen[i])
			temp=maxlen[i];
	printf("%d\n",temp);
	return 0;
}

2、最长公共子序列

输入

   abcfbc abfcab
   programming contest
   abcd mnpabcfbc

输出

maxlen[i][j]表示s1前i个字符组成的串s1i和s2前j个字符组成的字符串的最长公共序列的长度，i从1开始到n，嵌套j从1到i，求出maxlen[i][j]，如果s1[i]==s2[j]，那么maxlen[i][j]=max[i-1][j];如果不等那么maxlen[i][j]=max( maxlen[i-1][j] max[i][j-1] )

如果不等那么maxlen[i][j]=max( maxlen[i-1][j] max[i][j-1] )这里证明：

假设 maxlen[i][j]>max( maxlen[i-1][j] max[i][j-1] ), 那么说明s1[i]==s2[j]，跟前提矛盾

假设maxlen[i][j]<max( maxlen[i-1][j] max[i][j-1] ) ，由于s1[i]在s1[i-1]后面，s2 [j]在s2[j-1]后面，说明s1[i]，s2[j]处公共子序列长度大于等于max( maxlen[i-1][j] max[i][j-1] )

#include <iostream>
#include <cstdio>
#include <cstring>


using namespace std;

char s1[210],s2[210];
int maxlen[210][210];


int main() {
	int temp;
while(scanf("%s %s",s1+1,s2+1)!=EOF)
	{
		int len1=strlen(s1+1),len2=strlen(s2+1);
		for(int i=0; i<=len1; i++)
			maxlen[i][0]=0;
		for(int j=0; j<=len2; j++)
			maxlen[0][j]=0;

		for(int i=1; i<=len1; i++)
			for(int j=1; j<=len2; j++) {
				if(s1[i]==s2[j])
					maxlen[i][j]=maxlen[i-1][j-1]+1;
				else {
					temp= maxlen[i-1][j]>maxlen[i][j-1]?maxlen[i-1][j]:maxlen[i][j-1];
					maxlen[i][j]=temp;
				}
			}

		printf("%d\n",maxlen[len1][len2]);
	}

return 0;


}