计算机图形学（曲线参数化表示）

最近在做CAD的开发，涉及到BSpline,记录一些数学学习过程。

曲线表示

曲线、曲面的表示方程一般分为三种：
空间曲线上的一个点可以表示为

• 显示方程表示 ：
  $$z=f(x,y)$$
• 隐式方程表示 ：
  $$f(x,y,z)=0$$
• 参数方程表示 ：（参数方程表示不唯一）
  $$p(t)=[x(t)、y(t)、z(t)]$$
  笛卡尔分量 $$p(t)=x(t)i+y(t)j+z(t)]k$$

因为种种原因和便捷性，在CAD中主要用了参数方程，部分可能会涉及到隐式方程。二者互补性强，以下对比二者

参数方程对比

对比维度	隐式表示	参数表示
核心逻辑	约束关系（点满足什么条件）（某些情况的曲面offset好用）	生成规则（如何生成点）
空间适应性	2D 曲线、3D 曲面	2D/3D 曲线、3D 曲面（全场景覆盖）
形状有界性	擅长无界	擅长有界片段（零件轮廓、圆弧）
设计友好性	系数无几何意义，不适合交互设计	控制点直观，适合交互控形
关键操作效率	快速判断 “点在不在曲线上”	快速生成 “曲线上的点”
奇点处理	无参数化伪奇点	可能存在伪奇点，需额外处理(如球的南北极点)

幂基表示

“幂基” 的核心是用 ** 幂函数（幂函数(1, u, u², …, uⁿ)）作为 “基函数”，通过 “基函数与系数矢量的线性组合” 来定义曲线。类比数学中的 “多项式展开”：比如二次多项式(f(u) = 2 + 3u + 5u²)，是用(1, u, u²)作为基，系数为(2, 3, 5)；而 n 次曲线的幂基表示，是将这种 “标量多项式” 推广到 “矢量多项式”—— 每个系数都是三维矢量，对应曲线上点的坐标分量。

公式解析

• n次曲线的幂级形式：
  $$C(u)=⟨x(u),y(u),z(u)⟩=\sum _{i=0}^n{a}_i{u}^i,0\le u\le 1$$

• 矩阵形式：
  $$C(u)=\left[\begin{array}{cccc}{a}_0& a_1& \cdots & a_n\end{array}\right]\left[\begin{array}{c}1\\ u\\ ⋮\\ u^n\end{array}\right]={\left[a_i\right]}^T\left[u^i\right]$$
  其中 ${\left[a_i\right]}^{}$