图处第四章part1

chap04频率域滤波-part1信号与系统基础

让·巴普蒂斯·约瑟夫·傅里叶（Jean Baptiste Joseph Fourier），法国数学家，物理学家。

9岁时沦为孤儿，被地主收养，长大后被教会送到军校读书，曾经希望参加炮兵或工程兵，但因家庭地位低贫而遭到拒绝。后来，他希望到巴黎更优越的环境中去从事数学研究。可是，法国大革命爆发，中断了他的计划。无奈之下，他于1789年回到家乡奥塞尔的母校执教。在大革命期间，傅里叶以热心地方事务而知名，而且是一个非常有正义感的人。他替当时恐怖行为的受害者申辩，结果因此被捕入狱。出狱后，他短暂就读于巴黎师范学校，再次表现出惊人的数学才华。1795年，当巴黎综合工科学校成立时，傅里叶被任命为助教，协助J.L.Lagrange（拉格朗日）和G.Monge（蒙日），从事数学教学工作。这一年，他再次因政治原因被捕，后经同事营救获释。1798年，被蒙日派去随拿破仑远征埃及。1801年，傅里叶回到法国。他希望继续执教于巴黎综合工科学校，但因拿破仑赏识他的行政才能，任命他为伊泽尔地区首府格勒诺布尔的高级官员。由于政声卓著，1808年，拿破仑授予他男爵称号。此后，几经宦海浮沉，1815年，傅里叶终于在拿破仑百日王朝的尾期辞去爵位和官职，毅然返回巴黎以图全力投入学术研究。但是，失业、贫困以及政治名声的落潮，使得傅里叶进入了一生中最艰难的时期。好在昔日同事和学生对他施以援手，为他谋得统计局主管之职，才算维持住了生活。统计局的工作并不繁重，傅里叶得以继续从事研究。1816年，傅里叶被提名为法国科学院的成员。一开始，路易十八因为怀疑他与拿破仑的关系，拒绝了他的提名。后来，事情得到澄清，傅里叶于1817年就职科学院，其声誉随之迅速上升。傅里叶的任职得到了当时年事已高的 P.S.M.de Laplace（拉普拉斯）的支持，却不断受到 S.D.Poisson（泊松）的反对。事实上，后来两人之间的恩恩怨怨一直就没停歇过。在他帮助过的科学家中，有知名的 H.C.奥斯特（Oersted）、P.G.狄利克莱（Dirichlet）、N.H.阿贝尔（Abel）和 J.C.F.斯图姆（Sturm）等人（好家伙，全员狠人）。

有一件令人遗憾的事，就是傅里叶收到伽罗瓦（Galois）的关于群论的论文时，他已病情严重而未阅，以致论文手稿失去下落。傅里叶极度痴迷热学，他甚至认为热能包治百病。于是，在一个夏天，他关上了家中的门窗，穿上厚厚的衣服，坐在火炉边，结果，他被活活热死了（应该是一氧化碳中毒死亡）

傅里叶的关于傅里叶级数的论文在1807年被指定给四位著名的数学家评审，其中，拉克劳克斯，孟济和拉普拉斯通过，但是，50年前就走三角级数这条路没有走通的拉格朗日面子挂不住，坚决反对用三角级数，所以傅里叶的论文从来都没有发表。在1822年发表的《热的解析理论》这本关于热学的书中，傅里叶才将自己的数学成果展示，也是十分坎坷。其对后世的数学，工学领域影响非常深刻，尤其是在通信和自动控制及相关领域。

用傅里叶级数拟合方波：

傅里叶的理论主要贡献之一是傅里叶级数：任何周期函数都可以用若干个正弦或余弦信号来拟合。现在认为这是理所当然，但这在当时有些人是无法接受的。正弦波并不是生来就被认可的。傅里叶级数可以说是站在高斯和欧拉的肩膀上得到的，而且他的推导还不是很严谨，但是后来，傅里叶又整了个狠活：任何非周期函数（取绝对值或者平方后积分有限）也可以用正弦信号和余弦信号的加权和的积分表示，这就是傅里叶变换。

傅里叶变换一般在本科课程《信号与系统》《复变函数和积分变换》《数字信号处理》《通信原理》中有，难度和《模拟电路》《高频射频电路》《电磁场与电磁波》差不多，都是顶级难度，给莘莘学子留下了极大的心理阴影，而且在各种变换中傅里叶变换，拉普拉斯变换和Z变换经常可以秒杀很多积分的计算。所以说傅里叶和他的兄弟拉普拉斯是让众多通信狗转码的元凶也不足为过。

傅里叶对我说傅里叶你坏事做尽！

复数复习

复数$z$的笛卡尔坐标形式为
$$z=x+jy$$
其中$i,j=\sqrt{-1}$（数学中用i多，工程中一般用j），x，y都是实数，分别为z的实部和虚部
x = R e { z } y = I m { z } x=\mathcal{Re\{z\}}\quad y=\mathcal{Im\{z\}} x=Re{z}y=Im{z}
复数$z$的极坐标形式为
$$z=r{e}^{j\theta }$$
其中$r>0$是z的模，$\theta$是z的相角或者相位
$$r=|z|\theta =\sphericalangle z$$
该角度和模是在复平面内计算的。

欧拉公式

”数学天桥“，$e$是自然对数的底，$i$是虚数单位，$\pi$是圆周率，$1$是数的单位，$0$是虚无。该式连通了三角函数和虚数。
$$e^{i\pi }+1=0$$
欧拉公式：
$$e^{j\theta }=cos\theta +jsin\theta$$
欧拉公式证明：

有麦克劳林公式
$$f(x)=f(0)+\frac{f(0{)}^{{}^{\prime }}}{1!}x+\frac{f(0{)}^{{}^{\prime \prime }}}{2!}{x}^2+\cdots +\frac{f(0{)}^n}{n!}{x}^n+\cdots$$
$e^x$的麦克劳林展开
$$e^x=1+\frac{x}{1!}+\frac{x^2}{2!}+\frac{x^3}{3!}+\cdots +\frac{x^n}{n!}+\cdots$$
$sinx$的麦克劳林展开
$$sinx=x-\frac{1}{3}{x}^3+\frac{1}{5}{x}^5-\frac{1}{7}{x}^7+\cdots$$
$cosx$的麦克劳林展开
$$cosx=1-\frac{1}{2!}{x}^2+\frac{1}{4}{x}^4-\frac{1}{6}{x}^6+\cdots$$
$e^{ix}$的麦克劳林展开
$$\begin{gathered} e^{ix}=1+\frac{ix}{1!}+\frac{(ix{)}^2}{2!}+\frac{(ix{)}^3}{3!}+\frac{(ix{)}^4}{4!}+\cdots +\frac{(ix{)}^n}{n!}= \\ 1+ix-\frac{x^2}{2!}+i\frac{x^3}{3!}-\frac{x^3}{4!}+i\frac{x^5}{5!}-\frac{x^6}{6!}+i\frac{x^7}{7!}-\cdots = \\ cosx+isinx \end{gathered}$$
虽然麦克劳林只是在0点附近的拟合，而且这很不严谨，但是，扎不多德勒。

欧拉公式应用
$$\begin{gathered} cos\theta =\frac{e^{j\theta }+e^{-j\theta }}{2} \\ sin\theta =\frac{e^{j\theta }-e^{-j\theta }}{2j} \\ {e}^{j(\theta +2\pi )}=e^{j\theta }{e}^{j2\pi }=e^{j\theta } \\ \text{where }{e}^{j2\pi }=cos(2\pi )+jsin(2\pi )=1 \end{gathered}$$
共轭

复数$z=x+jy$的共轭为
$$z^{\ast }=x-jy$$

傅里叶级数（只分析连续形式）

背景

如果一个信号是周期的，对于所有$t$，存在某个正值$T$
$$x(t)=x(t+T)$$
满足上式的最小非零正$T$称为基波周期，而${\omega }_0=2\pi /T$称为基波频率。

如以下两个信号
$$\begin{gathered} x(t)=cos({\omega }_{0}t) \\ x(t)=e^{j{\omega }_{0}t} \end{gathered}$$
基波频率为${\omega }_0$，${\omega }_0$就是基波频率，基波周期为$T=2\pi /{\omega }_0$。

与$x(t)=e^{j{\omega }_{0}t}$呈谐波关系的复指数信号集为
$${\varphi }_k(t)=e^{jk{\omega }_{0}t}=e^{jk(2\pi /T)t},k=0,\pm 1,\pm 2,\cdots$$
谐波关系是指，如果信号频率为基波频率的整数倍，称该信号和基波称谐波关系。

因此，一个由成谐波关系的复指数线性组合成的信号可表示为
$$x(t)=\sum _{k=-\infty }^{+\infty }{a}_k{e}^{jk{\omega }_{0}t}=\sum _{k=-\infty }^{+\infty }{a}_k{e}^{jk(2\pi /T)t}$$
这就是傅里叶级数，也就是说任何周期信号都可以分解为与该信号成谐波关系的若干个信号的和

举个例子

对于基波频率为$2\pi$的周期信号$x(t)$。
$$x(t)=\sum _{k=-3}^{+3}{a}_k{e}^{jk2\pi t}$$
其中
$$a_0=1,a_1=a_{-1}=\frac{1}{4},a_2=a_{-2}=\frac{1}{2},a_3=a_{-3}=\frac{1}{3}$$
那么
$$x(t)=1+\frac{1}{2}cos2\pi t+cos4\pi t+\frac{2}{3}cos6\pi t$$

这是一些信号分量

这是原始信号。

两种表示形式

• 成谐波关系的复指数信号的线性组合
  $$x(t)=\sum _{k=-\infty }^{+\infty }{a}_k{e}^{jk{\omega }_{0}t}=\sum _{k=-\infty }^{+\infty }{a}_k{e}^{jk(2\pi /T)t}$$

• 若周期信号为实信号那么$x^{\ast }(t)=x(t)$

  有
  $$x(t)=\sum _{k=-\infty }^{+\infty }{a}_k^{\ast }{e}^{-jk{\omega }_{0}t}$$
  由上例，要求$a_k=a_{-k}^{\ast }$，那么
  $$x(t)=a_0+\sum _{k=1}^{\infty }[a_k{e}^{jk{\omega }_{0}t}+a_k^{\ast }{e}^{-jk{\omega }_{0}t}]$$
  中括号内两项共轭，所以
  x ( t ) = a 0 + ∑ k = 1 ∞ 2 R e { a k e j k ω 0 t } x(t)=a_0+\sum_{k=1}^\infty2\mathcal{Re}\{a_ke^{jk\omega_0t}\} x(t)=a0​+k=1∑∞​2Re{ak​ejkω0​t}

  • 若$a_k$以极坐标形式表示$a_k=A_k{e}^{j{\theta }_k}$，则
    $$x(t)=a_0+2\sum _{k=1}^{\infty }{A}_{k}cos(k{\omega }_{0}t+{\theta }_k)$$

  • 若$a_k$以笛卡尔坐标形式表示$a_k=A_k-j{B}_k$，则
    $$x(t)=a_0+2\sum _{k=1}^{\infty }[A_{k}cosk{\omega }_{0}t+B_{k}sink{\omega }_{0}t]$$

系数计算

对于周期信号
$$x(t)=\sum _{k=-\infty }^{+\infty }{a}_k{e}^{jk{\omega }_{0}t}$$
两边同乘$e^{-jn{\omega }_{0}t}$
$$x(t)e^{-jn{\omega }_{0}t}=\sum _{k=-\infty }^{\infty }{a}_k{e}^{jk{\omega }_{0}t}{e}^{-jn{\omega }_{0}t}$$
两边同时从0到$T=2\pi /{\omega }_0$对$t$积分
$${\int }_0^{T}x(t)e^{-jn{\omega }_{0}t}dt={\int }_0^T\sum _{k=-\infty }^{\infty }{a}_k{e}^{jk{\omega }_{0}t}{e}^{-jn{\omega }_{0}t}dt$$
交换右式积分和求和的次序
$${\int }_0^{T}x(t)e^{-jn{\omega }_{0}t}dt=\sum _{k=-\infty }^{\infty }{a}_k\left[{\int }_0^T{e}^{j(k-n){\omega }_{0}t}dt\right]$$
对于右式的积分
$${\int }_0^T{e}^{j(k-n){\omega }_{0}t}dt={\int }_0^{T}cos[(k-n){\omega }_{0}t]dt+j{\int }_0^{T}sin[(k-n){\omega }_{0}t]dt$$
其中$cos(k-n){\omega }_{0}t$和$sin(k-n){\omega }_{0}t$都是周期函数，基波周期为$T/|k-n|$，现在在$T$区间积分，周期是其基波周期的整数倍，对于$k\ne n$来说，积分为0，对于$k=n$来说，积分为$T$。所以
$${\int }_0^T{e}^{j(k-n){\omega }_{0}t}dt=\{\begin{array}{ll}T,& k=n\\ 0,& k\ne n\end{array}$$
因此，等式右边化简为$T{a}_n$，有
$$a_n=\frac{1}{T}{\int }_0^{T}x(t)e^{-jn{\omega }_{0}t}dt$$
由周期函数积分的推理可知，在$0-T$上积分，值等于任选一个周期进行积分的值:${\int }_T\text{表示在一个周期区间上积分}$（一般选-T/2~T/2）。

由积分的性质可知，$a_0$是$x(t)$的平均值。

傅里叶级数的整体定义如下
$$\begin{gathered} x(t)=\sum _{k=-\infty }^{+\infty }{a}_k{e}^{jk{\omega }_{0}t}=\sum _{k=-\infty }^{+\infty }{a}_k{e}^{jk(2\pi /T)t} \\ {a}_k=\frac{1}{T}{\int }_{T}x(t)e^{-jk{\omega }_{0}t}dt=\frac{1}{T}{\int }_{T}x(t)e^{-jk(2\pi /T)t}dt \end{gathered}$$
上式称为综合公式，下式称为分析公式， { a k } \{a_k\} {ak​}称为傅里叶级数系数。

对于形如
$$x(t)=a_0+2\sum _{k=1}^{\infty }[A_{k}cos(k{\omega }_{0}t)+B_{k}sin(k{\omega }_{0}t)]$$
的周期实信号，傅里叶级数系数为
$$\begin{gathered} a_0=\frac{1}{T}{\int }_{-\frac{T}{2}}^{+\frac{T}{2}}x(t)dt \\ {A}_k=\frac{1}{T}{\int }_{-\frac{T}{2}}^{+\frac{T}{2}}x(t)cos(k{\omega }_{0}t)dt \\ {B}_k=\frac{1}{T}{\int }_{-\frac{T}{2}}^{+\frac{T}{2}}x(t)sin(k{\omega }_{0}t)dt \end{gathered}$$
给原始信号乘上响应的$cos(k{\omega }_{0}t)$或者$sin(k{\omega }_{0}t)$再积分即可证明。

离散时间和连续时间傅里叶级数的区别

离散时间信号就是只在整数点处有值的函数。这里可以看作对连续时间信号的采样，对于连续时间周期信号
$$x(t)=e^{j{\omega }_{0}t}$$
${\omega }_0$越大，代表信号的频率越高，震荡的越快。而对于与离散时间周期信号
$$x[n]=e^{j({\omega }_0+r2\pi )n}=e^{j{\omega }_{0}n}\text{for }r=1,2,3\dots$$
${\omega }_0$增大$2\pi$的整数倍，该信号与原信号相同:

$$left:10sin(2t)right:10sin((2+2\pi )t)$$

所以，尽管离散时间信号和连续时间信号有非常多的相似，但是还是有一些不同的。离散时间信号的傅里叶级数如下：
$$\begin{gathered} x[n]=\sum _{k=<N>}{a}_k{e}^{jk{\omega }_{0}n}=\sum _{k=<N>}{a}_k{e}^{jk(2\pi /N)n} \\ {a}_k=\frac{1}{N}\sum _{k=<N>}x[n]e^{-jk{\omega }_{0}n}=\frac{1}{N}\sum _{k=<N>}x[n]e^{-jk(2\pi /N)n} \end{gathered}$$
${\sum }_{k=<N>}$表示在一个周期内求和，所以这不是一个无穷级数。此时的傅里叶级数系数也称为频谱系数。

傅里叶级数和LTI系统

之前的傅里叶级数都用的是复指数信号进行推导（除了上面一个实周期的余弦正弦加权和）的。这是因为复指数信号有一个特殊的性质：

一个复指数信号经过一个LTI系统，得到的响应也同样是一个复指数信号，不同的只是幅度，即
$$\begin{gathered} \text{连续时间}:e^{st}\to H(s)e^{st} \\ \text{离散时间}:z^n\to H(z)z^n \end{gathered}$$
其中，$H(s),H(z)$是复振幅因子，一般是$s$或者$z$的函数。一个信号，经过一个一同的输出响应，仅是一个常数乘以输入，则称该信号是系统的特征函数，而振幅因子称为系统的特征值。

证明：

1. 对于单位冲激响应为$h(t)$的连续时间LTI系统。输入为$x(t)=e^{st}$，卷积$h(t),x(t)$得到响应$y(t)$：
   $$\begin{gathered} y(t)={\int }_{-\infty }^{+\infty }h(\tau )x(t-\tau )d\tau ={\int }_{-\infty }^{+\infty }h(\tau )e^{s(t-\tau )}d\tau = \\ {e}^{st}{\int }_{-\infty }^{+\infty }h(\tau )e^{-s\tau }d\tau \end{gathered}$$
   那么系统对$x(t)=e^{st}$的响应就是
   $$y(t)=H(s)e^{st}$$
   其中
   $$H(s)={\int }_{-\infty }^{+\infty }h(\tau )e^{-s\tau }d\tau$$
   $e^{st}$就是特征函数，$H(s)$就是特征值。

2. 离散时间同上，输入信号为$x[n]=z^n$，与系统响应$h[n]$卷积：
   $$\begin{gathered} y[n]=\sum _{k=-\infty }^{+\infty }h[k]x[n-k]=\sum _{k=-\infty }^{+\infty }h[k]z^{n-k}= \\ {z}^n\sum _{k=-\infty }^{+\infty }h[k]z^{-k} \end{gathered}$$

举个例子，对于信号
$$x(t)=a_1{e}^{s_{1}t}+a_2{e}^{s_{2}t}+a_3{e}^{s_{3}t}$$
将其输入一个LTI系统，根据特征函数性质：
$$\begin{gathered} a_1{e}^{s_{1}t}\to a_{1}H(s_1)e^{s_{1}t} \\ {a}_2{e}^{s_{2}t}\to a_{2}H(s_2)e^{s_{2}t} \\ {a}_3{e}^{s_{3}t}\to a_{3}H(s_3)e^{s_{3}t} \end{gathered}$$
再根据可加性，和的响应就是响应的和：
$$y(t)=a_{1}H(s_1)e^{s_{1}t}+a_{2}H(s_2)e^{s_{2}t}+a_{3}H(s_3)e^{s_{3}t}$$
若$s,z$为一般复数时，$H(s),H(z)$称为系统函数，信号与系统中关注的是 R e { s } = 0 \mathcal{Re}\{s\}=0 Re{s}=0和$|z|=1$的情况，此时
$$\begin{gathered} s=j\omega e^{st}=e^{j\omega t}H(s)=H(j\omega )={\int }_{-\infty }^{+\infty }h(t)e^{-j\omega t}dt \\ z=e^{j\omega }{z}^n=e^{j\omega n}H(z)=H(e^{j\omega })=\sum _{n=-\infty }^{+\infty }h[n]e^{-j\omega n} \end{gathered}$$
把具有$s=j\omega$形式的系统函数$H(j\omega )$称为该系统的频率响应。因为这个卷积运算改变了傅里叶级数中的系数，也就是每个频率分量信号大小被改变了。

对于傅里叶级数的影响

$x(t)$为一个连续时间周期信号，其傅里叶级数表示为
$$x(t)=\sum _{k=-\infty }^{+\infty }{a}_k{e}^{jk{\omega }_{0}t}$$
假设该信号通过一个单位冲激响应为$h(t)$的LTI系统，根据上述的理论输出$y(t)$为
$$y(t)=\sum _{k=-\infty }^{+\infty }{a}_{k}H(jk{\omega }_0)e^{jk{\omega }_{0}t}$$
于是$y(t)$也是周期的，基波频率与输入相同。且若 { a k } \{a_k\} {ak​}是输入的一组傅里叶级数，那么 { a k H ( j k ω 0 } \{a_kH(jk\omega_0\} {ak​H(jkω0​}就是输出的一组傅里叶级数，也就是说，LTI系统通过乘以相应频率点上的频率响应逐个改变输入信号的每一个傅里叶级数。所以设计不同的系统可以实现不同效果的滤波。

滤波

改变一个信号中各频率分量的相对大小，或者全部消除某些频率分量的过程称为滤波。

举例：微分滤波器

考虑滤波器$y(t)=dx(t)/dt$，在$x(t)=e^{j\omega t}$时，$y(t)=j\omega e^{j\omega t}$，其频率响应为
$$H(j\omega )=j\omega$$
分别画出$|H(j\omega )|$和$\sphericalangle H(j\omega )$的图像
$$\begin{gathered} |H(j\omega )|=|\omega | \\ \sphericalangle H(j\omega )=\{\begin{array}{ll}\frac{\pi }{2}& \omega >0\\ 0& \omega =0\\ -\frac{\pi }{2}& \omega <0\end{array} \end{gathered}$$
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$\omega$越大代表频率越大，上图中，频率越大，频率响应越大，通过LTI系统的频率分量值越大。所以这是一个高通滤波器。图像处理中的Roberts算子就是应用的这个滤波器：

考虑图像信号$x[t_1,t_2]$，$t_1,t_2$分别是水平和垂直坐标，如果图像在水平和垂直方向周期重复，就可以用$e^{j{\omega }_1{t}_1}$和$e^{j{\omega }_2{t}_2}$乘积的和所构成的二维傅里叶级数（图像是离散信号，傅里叶级数在一个周期内就可以求）来表示。利用离散版本的求导-----差分来求梯度，即上节的两次卷积再加一个求范数运算就可以实现高通滤波。

冲激信号，阶跃信号

连续时间单位冲激信号

之前说过，单位冲激信号是形如
$$\{\begin{array}{ll}{\int }_{-\infty }^{\infty }\delta (t)dt=1& t=0\\ \delta (t)=0& \text{while }t\ne 0\end{array}$$
的函数。

这个玩意放到高数中妥妥的是个错误的东西，因为它不连续，理应在$t=0$处无定义。这个是泛函中的一个概念：

奇异函数是指函数本身有不连续点或其导数或积分有不连续点的一类函数。奇异函数也称为脉冲函数或麦考雷函数，它可用来描述任何不连续的单个方程式。在信号与系统分析中，经常会用到奇异函数。

而单位冲激信号有以下几种经典的定义方式

其中$\Delta \to 0$，仅在0点有值且值极大，偶函数。

它有个很好的性质，采样性质：
$$\begin{gathered} {\int }_{-\infty }^{\infty }f(t)\delta (t)dt=f(0) \\ {\int }_{-\infty }^{\infty }f(t)\delta (t-t_0)dt=f(t_0) \\ f(t)\delta (t-t_0)=f(t_0)\delta (t-t_0) \end{gathered}$$
信号与系统里的奇异函数多是这样的：通过积分的方式定义，单独拿来在高数中都是不连续的。

连续时间单位阶跃信号

单位阶跃函数定义为
$$u(t)=\{\begin{array}{ll}0,& t<0\\ 1,& t>0\end{array}$$
在$t=0$处不连续，该信号是单位冲激信号的积分函数（running integral）
$$u(t)={\int }_{-\infty }^t\delta (\tau )d\tau$$
单位冲激是单位阶跃的一阶导
$$\delta (t)=\frac{du(t)}{dt}$$

离散时间单位脉冲信号

对应连续时间单位冲激信号，离散时间也有个有采样性质的函数
$$\delta [n]=\{\begin{array}{ll}0,& n\ne 0\\ 1,& n=0\end{array}$$
叫做单位脉冲函数或者单位样本函数。

离散时间单位阶跃信号

$$u[n]=\{\begin{array}{ll}0,& n<0\\ 1,& n⩾0\end{array}$$

离散时间单位脉冲信号是离散时间单位阶跃信号的一次差分
$$\delta [n]=u[n]-u[n-1]$$
离散时间阶跃信号是离散时间单位样本的求和函数
$$u[n]=\sum _{m=-\infty }^n\delta [m]$$

冲激串

我们的兴趣是冲激串$s_{\Delta T}(t)=\sum _{k=-\infty }^{+\infty }\delta (t-k\Delta T)$，它定义了无穷多个单位冲激的和。

连续时间傅里叶变换（Continuous Fourier Transform CFT）

之前的傅里叶级数都讨论的是周期信号，那非周期信号呢？

傅里叶认为，一个非周期信号可以被看成周期无限大的周期信号，更确切的说：在一个周期信号的傅里叶级数表示中，周期越大，基波频率就越小，成谐波关系的各分量也就越接近，当周期变成无穷大时，这些频率分量就形成了一个连续域，从而将傅里叶级数的求和转变为一个积分。

推导

考虑连续周期方波信号：

在一个周期内
$$x(t)=\{\begin{array}{ll}1,& |t|<T_1\\ 0,& T_1<|t|<T/2\end{array}$$

求其傅里叶级数
$$a_k=\frac{1}{T}{\int }_{-\frac{T}{2}}^{\frac{T}{2}}x(t)e^{-j{\omega }_{0}t}dt=\frac{2sin(k{\omega }_{0}T1)}{k{\omega }_{0}t}$$

可以将这一数列理解为包络函数的样本
$$T{a}_k=\frac{2sin(\omega T_1)}{\omega }{|}_{\omega =k{\omega }_0}$$
也就是说，这里把$\omega$看作连续变量，函数$\frac{2sin(\omega T_1)}{\omega }$代表$T{a}_k$的包络，傅里叶级数系数就是在这个包络上等间隔采样得到的函数值，随着$T$增大，${\omega }_0=2\pi /T$减小，采样间隔减小，采样就越来越密集，随着$T$变成任意大，原来的周期方波就变成了一个矩形脉冲（或者叫门函数，窗函数）（在时域中保留的是一个非周期信号了），与此同时，傅里叶级数系数作为包络上的采样变得非常密集了，从某种意义上来说，随着$T\to \infty$，傅里叶级数系数趋近于这个包络。

这个例子展现了非周期信号的傅里叶分析思想。以下为傅里叶变换的说明

有非周期信号$x(t)$，其在时域上是有限持续期的，即对某个$T_1$，当$|t|>T_1$时，$x(t)=0$。从这个非周期信号出发，可以构造一个周期信号$\tilde{x}(t)$，使$x(t)$是$\tilde{x}(t)$的一个周期，当$T$选的比较大时，$x(t)$就在一个更长的时段上与$\tilde{x}(t)$一致，当$T\to \infty$，对任意有限时间$t$而言，$\tilde{x}(t)$就等同于$x(t)$。

对于周期信号$\tilde{x}(t)$，傅里叶级数为
$$\begin{gathered} \tilde{x}(t)=\sum _{k=-\infty }^{\infty }{a}_k{e}^{jk{\omega }_{0}t} \\ {a}_k=\frac{1}{T}{\int }_{-\frac{T}{2}}^{\frac{T}{2}}\tilde{x}(t)e^{-jk{\omega }_{0}t}dt \end{gathered}$$
由于在一个周期内$\tilde{x}(t)=x(t)$，所以可以改写为
$$a_k=\frac{1}{T}{\int }_{-\frac{T}{2}}^{\frac{T}{2}}x(t)e^{-jk{\omega }_{0}t}dt=\frac{1}{T}{\int }_{-\infty }^{+\infty }x(t)e^{-jk{\omega }_{0}t}dt$$
因此，定义$T{a}_k$的包络$X(j\omega )$为
$$X(j\omega )={\int }_{-\infty }^{+\infty }x(t)e^{-j\omega t}dt\text{where }\omega =k{\omega }_0$$
系数$a_k$可以写为
$$a_k=\frac{1}{T}X(jk{\omega }_0)$$
结合此时的$a_k$和$\tilde{x}(t)$的傅里叶级数表示式
$$\{\begin{array}{l}\tilde{x}(t)=\sum _{k=-\infty }^{\infty }{a}_k{e}^{jk{\omega }_{0}t}\\ a_k=\frac{1}{T}X(jk{\omega }_0)\end{array}$$
用$X(j\omega )$来表示$\tilde{x}(t)$
$$\tilde{x}(t)=\sum _{k=-\infty }^{+\infty }\frac{1}{T}X(jk{\omega }_0)e^{jk{\omega }_{0}t}$$
或者用$w_0=2\pi /T$替换
$$\tilde{x}(t)=\frac{1}{2\pi }\sum _{k=-\infty }^{+\infty }X(jk{\omega }_0)e^{jk{\omega }_{0}t}{\omega }_0$$
随着$T\to \infty$，$\tilde{x}(t)$趋近于$x(t)$，上式求和就变成了一个积分，即
$$x(t)=\frac{1}{2\pi }{\int }_{-\infty }^{+\infty }X(j\omega )e^{j\omega t}d\omega$$
这个式子和上面$T{a}_k$包络的计算构成傅里叶变换对
$$\begin{gathered} x(t)=\frac{1}{2\pi }{\int }_{-\infty }^{+\infty }X(j\omega )e^{j\omega t}d\omega \\ X(j\omega )={\int }_{-\infty }^{+\infty }x(t)e^{-j\omega t}dt \end{gathered}$$
$X(j\omega )$称为傅里叶变换(CFT)或者傅里叶积分，上面的就称为傅里叶逆变换(ICFT)。

$X(j\omega )$也称为$x(t)$的频谱，因为$X(j\omega )$告诉了我们将$x(t)$表示为不同频率正弦信号的线性组合所需信息。

周期信号的傅里叶变换

假设一个信号是面积为$2\pi$，出现在$\omega ={\omega }_0$处的冲激信号，即
$$X(j\omega )=2\pi \delta (\omega -{\omega }_0)$$
求其逆变换
$$\begin{gathered} x(t)=\frac{1}{2\pi }{\int }_{-\infty }^{+\infty }2\pi \delta (\omega -{\omega }_0)e^{j\omega t}d\omega \\ =e^{j{\omega }_{0}t} \end{gathered}$$
在上式基础上推广，如果$X(j\omega )$是在频域上等间隔的一组冲激函数的线性组合
$$X(j\omega )=\sum _{k=-\infty }^{+\infty }2\pi a_k\delta (\omega -k{\omega }_0)$$
求逆变换
$$x(t)=\sum _{k=-\infty }^{+\infty }{a}_k{e}^{jk{\omega }_{0}t}$$

傅里叶变换的一些性质

• 线性性质

  若
  $$x(t){⟷}^{\mathcal{F}}X(j\omega )$$
  且
  $$y(t){⟷}^{\mathcal{F}}Y(j\omega )$$
  则有
  $$ax(t)+by(t){⟷}^{\mathcal{F}}aX(j\omega )+bY(j\omega )$$

• 时移性质

  若
  $$x(t){⟷}^{\mathcal{F}}X(j\omega )$$
  则
  $$x(t-t_0){⟷}^{\mathcal{F}}{e}^{-j\omega t_0}X(j\omega )$$
  推一下
  $$\begin{gathered} x(t)=\frac{1}{2\pi }{\int }_{-\infty }^{+\infty }X(j\omega )d\omega \\ x(t-t_0)=\frac{1}{2\pi }{\int }_{-\infty }^{+\infty }X(j\omega )e^{j\omega (t-t_0)}d\omega =\frac{1}{2\pi }{\int }_{-\infty }^{+\infty }{e}^{-j\omega t_0}X(j\omega )e^{j\omega t}d\omega \end{gathered}$$

• 微积分性质
  $$\begin{gathered} \frac{dx(t)}{dt}{⟷}^{\mathcal{F}}j\omega X(j\omega ) \\ {\int }_{-\infty }^{t}x(\tau )d\tau {⟷}^{\mathcal{F}}\frac{1}{j\omega }X(j\omega )+\pi X(0)\delta (\omega ) \end{gathered}$$

• 时频尺度变换
  $$\begin{gathered} x(at){⟷}^{\mathcal{F}}\frac{1}{|a|}X(\frac{j\omega }{a}) \\ x(-t){⟷}^{\mathcal{F}}X(-j\omega ) \end{gathered}$$

• 对偶性质

  对于傅里叶变换对
  $$\begin{gathered} x(t)=\frac{1}{2\pi }{\int }_{-\infty }^{+\infty }X(j\omega )e^{j\omega t}d\omega \\ X(j\omega )={\int }_{-\infty }^{+\infty }x(t)e^{-j\omega t}dt \end{gathered}$$
  这两个式子在形式上很相似，之前的一个例子，矩形脉冲的傅里叶变换
  $$x_1(t)=\{\begin{array}{ll}1,& |t|<T_1\\ 0,& |t|>T_1\end{array}{⟷}^{\mathcal{F}}{X}_1(j\omega )=\frac{2sin(\omega T_1)}{\omega }$$
  考虑信号$x_2(t)$
  $$x_2(t)=\frac{sin(Wt)}{\pi t}{⟷}^{\mathcal{F}}{X}_2(j\omega )=\{\begin{array}{ll}1,& |\omega |<W\\ 0,& |\omega |>W\end{array}$$
  计算过程，先对$X_1(j\omega )$做傅里叶逆变换
  $${\mathcal{F}}^{-1}[X_1(j\omega )]=x_1(t)=\frac{1}{2\pi }{\int }_{-\infty }^{+\infty }\frac{2sin(\omega T_1)}{\omega }{e}^{j\omega t}d\omega$$
  交换积分中的$\omega$和$t$
  $$x_1(t)={\int }_{-\infty }^{+\infty }\frac{sin(t{T}_1)}{\pi t}{e}^{j\omega t}dt$$
  积分中$-t$换$t$
  $$x_1(t)={\int }_{-\infty }^{+\infty }\frac{sin(t{T}_1)}{\pi t}{e}^{-j\omega t}dt=\mathcal{F}[\frac{sin(t{T}_1)}{\pi t}]$$
  $x_2(t)$就是把$T_1$换成$W$。也可以嗯算，就用$\Gamma (x)$伽马函数应该也可以算。

  也就是说任何傅里叶变换，时间和频率变量互换之后都有一种对偶关系。

举个例子

hhh

卷积性质

若
$$y(t)=x(t)\ast h(t)={\int }_{-\infty }^{+\infty }x(\tau )h(t-\tau )d\tau$$
其中$h(t)$为单位冲激响应。要求的是$y(t)$的傅里叶变换
Y ( j ω ) = F { y ( t ) } = ∫ − ∞ + ∞ [ ∫ − ∞ + ∞ x ( τ ) h ( t − τ ) d τ ] e − j ω t d t Y(j\omega)=\mathcal{F}\{y(t)\}=\int_{-\infty}^{+\infty}\bigg[\int_{-\infty}^{+\infty}x(\tau)h(t-\tau)d\tau\bigg]e^{-j\omega t}dt Y(jω)=F{y(t)}=∫−∞+∞​[∫−∞+∞​x(τ)h(t−τ)dτ]e−jωtdt
交换积分顺序
$$Y(j\omega )={\int }_{-\infty }^{+\infty }x(\tau )[{\int }_{-\infty }^{+\infty }h(t-\tau )e^{-j\omega t}dt]d\tau$$
根据时移性质
$$\begin{gathered} Y(j\omega )={\int }_{-\infty }^{+\infty }x(\tau )e^{-j\omega \tau }H(j\omega )d\tau =H(j\omega ){\int }_{-\infty }^{+\infty }x(\tau )e^{-j\omega \tau }d\tau \\ =H(j\omega )X(j\omega ) \end{gathered}$$
即
$$y(t)=h(t)\ast x(t){⟷}^{\mathcal{F}}Y(j\omega )=H(j\omega )X(j\omega )$$
这个性质相当重要！

该表达式的意义是，两个信号在时域的卷积对应其在频域的乘积。在设计滤波器时，要求通过的部分$H(j\omega )\approx 1$，要求不通过的部分$H(j\omega )\approx 0$即可。同时，该式也说明，一个LTI系统也可以由单位冲激响应的傅里叶变换$H(j\omega )$完全刻画。

相乘性质

卷积性质指的是时域卷积对应频域相乘，那么由对偶性质，猜测时域相乘对应频域卷积
$$r(t)=s(t)p(t)⟷R(j\omega )=\frac{1}{2\pi }{\int }_{-\infty }^{+\infty }S(j\theta )P(j(\omega -\theta ))d\theta =\frac{1}{2\pi }[S(j\omega )\ast P(j\omega )]$$
证明
$$\begin{gathered} {\mathcal{F}}^{-1}[R(j\omega )] \\ =\frac{1}{(2\pi {)}^2}{\int }_{-\infty }^{+\infty }{\int }_{-\infty }^{+\infty }S(j\theta )P(j(\omega -\theta ))d\theta e^{j\omega t}d\omega \\ =\frac{1}{(2\pi {)}^2}{\int }_{-\infty }^{+\infty }S(j\theta ){\int }_{-\infty }^{+\infty }P(j(\omega -\theta ))e^{j(\omega -\theta )t}d(\omega -\theta )e^{j\theta t}d\theta \\ =p(t){\int }_{-\infty }^{+\infty }S(j\theta )e^{j\theta t}d\theta \\ =s(t)p(t) \end{gathered}$$

采样

采样定理是最早出现在香农和奈奎斯特的有关通信系统的论文中，目的实现信源的最大压缩。

在一定条件下，一个连续信号可以由该信号在等间隔点上的值或样本（sample）来表示，并且可以由这些样本完全恢复出来。这个牛批的性质来自采样定理（又称香农采样定理，奈奎斯特采样定理）。例如，电影其实是由一帧一帧的图像按时序排列组成，每帧图像是个瞬时画面。图像也是由一个一个离散的像素点组成，每个像素点就是一个连续图像的采样点。

这里讲采样的概念和从样本重建一个连续信号的过程，过程中证明从样本重建连续信号的条件和不满足条件的后果和采样后离散信号的处理，最后还有抽取（池化，下采样）和内插（上采样）。

采样定理

一般来说，没有任何附加条件的情况下，不能指望一个信号能唯一地由一组等间隔的样本值来重建。如下图，在整数倍T处三条曲线值相同，用这些值复原成谁呢？

为了建立采样定理，需要一种等时间间隔的采样函数对原始信号进行采样。冲激串就是一个很好的周期信号。使用冲激串采样的方法就叫冲激串采样，冲激串$p(t)$称为采样函数，周期$T$称为采样周期，而$p(t)$的基波频率${\omega }_s=2\pi /T$称为采样频率。假设带采样连续时间信号为$x(t)$，在时域中有
$$x_p(t)=x(t)p(t)$$
其中，
$$p(t)=\sum _{n=-\infty }^{+\infty }\delta (t-nT)$$
所以
$$x_p(t)=\sum _{n=-\infty }^{+\infty }x(t)\delta (t-nT)$$
由于冲激信号有采样性质，所以
$$x_p(t)=\sum _{n=-\infty }^{+\infty }x(nT)\delta (t-nT)$$
由傅里叶变换相乘性质，时域相乘等同于频域卷积，有
$$X_p(j\omega )=\frac{1}{2\pi }{\int }_{-\infty }^{+\infty }X(j\theta )P(j(\omega -\theta ))d\theta$$
由周期信号傅里叶变换可知
$$P(j\omega )=2\pi \sum _{-\infty }^{+\infty }{a}_k\delta (\omega -k{\omega }_s)$$
其中
$$a_k=\frac{1}{T}{\int }_{-\frac{T}{2}}^{+\frac{T}{2}}\sum _{n=-\infty }^{+\infty }\delta (t-nT)e^{-jk{\omega }_{0}t}dt=\frac{1}{T}{\int }_{-\frac{T}{2}}^{+\frac{T}{2}}\delta (t)e^{-jk{\omega }_{0}t}dt=\frac{1}{T}$$
所以
$$P(j\omega )=\frac{2\pi }{T}\sum _{k=-\infty }^{+\infty }\delta (\omega -k{\omega }_s)$$
最后
$$X_p(j\omega )=\frac{1}{T}\sum _{-\infty }^{+\infty }X(j(\omega -k{\omega }_s))$$
也就是说$X_p(j\omega )$是由一组移位的$X(j\omega )$叠加组成，幅度上乘了个$1/T$。

左边是$X(j\omega )$的频谱，右边是$X_p(j\omega )$的频谱。${\omega }_s$是采样频率，${\omega }_m$是原始信号最大频率。

采样定理想说明的是这样一个事实：只有当采样频率大于原始信号中最高频率的两倍(${\omega }_s>2{\omega }_m$)时，才可以通过采样的信号恢复原始信号。$2{\omega }_m$称为奈奎斯特速率(Nyquist rate)，否则将会发生混叠(Aliasing)。恢复信号的步骤：

• 产生一个冲激串，幅度就是采样后信号的样本值
• 冲激串通过一个增益为$T$，截止频率大于${\omega }_m$小于${\omega }_s-{\omega }_m$的理想低通滤波器