#10013. 「一本通 1.2 例 3」曲线

最新推荐文章于 2024-11-13 17:38:26 发布

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博客详细介绍了如何使用三分法解决求区间最小值的问题，适用于凸性函数。通过不断缩小搜索范围，找到函数在[0, 1000]上的最小值，特别适合处理二次函数等具有单调性的函数。同时解释了计算机中科学计数法中'e'的含义，表示10的次方。" 129953745,5695136,Drone与Gitea集成：CICD环境搭建实战,"['持续集成', '持续部署', 'Docker', 'DevOps', 'CICD工具']

摘要生成于 C知道，由 DeepSeek-R1 满血版支持，前往体验 >

【题目描述】

明明做作业的时候遇到了 nn 个二次函数 Si(x)= ax^2 + bx + c，他突发奇想设计了一个新的函数F(x)=max{Si(x)},i=1…n。

明明现在想求这个函数在 [0,1000] 的最小值，要求精确到小数点后四位，四舍五入。

【输入格式】

输入包含 T 组数据，每组第一行一个整数 n；

接下来 n 行，每行 3 个整数 a, b, c ，用来表示每个二次函数的 3 个系数。注意：二次函数有可能退化成一次。

【输出格式】

每组数据输出一行，表示新函数 F(x)的在区间 [0,1000] 上的最小值。精确到小数点后四位，四舍五入。

【样例输入】

【样例输出】

0.0000
0.5000

【数据范围与提示】

对于 50% 的数据，1≤n≤100；

对于 100% 的数据，1≤T≤10, 1≤n≤10^5, 0≤a≤100, 0≤∣b∣≤5000, 0≤∣c∣≤5000。

三分：

一. 原形

在二分查找的基础上，在右区间（或左区间）再进行一次二分，这样的查找算法称为三分查找，也就是三分法。

三分查找通常用来迅速确定最值。

二分查找所面向的搜索序列的要求是：具有单调性（不一定严格单调）；没有单调性的序列不是使用二分查找。

与二分查找不同的是，三分法所面向的搜索序列的要求是：序列为一个凸性函数。通俗来讲，就是该序列必须有一个最大值（或最小值），在最大值（最小值）的左侧序列，必须满足不严格单调递增（递减），右侧序列必须满足不严格单调递减（递增）。如下图，表示一个有最大值的凸性函数：

二、变形

我们都知道二分查找适用于单调函数中逼近求解某点的值。

如果遇到凸性或凹形函数时，可以用三分查找求那个凸点或凹点。

下面的方法应该是三分查找的一个变形。

如图所示，已知左右端点L、R，要求找到白点的位置。

思路：通过不断缩小 [L,R] 的范围，无限逼近白点。

做法：先取 [L,R] 的中点 mid，再取 [mid,R] 的中点 mmid，通过比较 f(mid) 与 f(mmid) 的大小来缩小范围。

当最后 L=R-1 时，再比较下这两个点的值，我们就找到了答案。

1、当 f(mid) > f(mmid) 的时候，我们可以断定 mmid 一定在白点的右边。

反证法：假设 mmid 在白点的左边，则 mid 也一定在白点的左边，又由 f(mid) > f(mmid) 可推出 mmid < mid，与已知矛盾，故假设不成立。

所以，此时可以将 R = mmid 来缩小范围。

2、当 f(mid) < f(mmid) 的时候，我们可以断定 mid 一定在白点的左边。

反证法：假设 mid 在白点的右边，则 mmid 也一定在白点的右边，又由 f(mid) < f(mmid) 可推出 mid > mmid，与已知矛盾，故假设不成立。

同理，此时可以将 L = mid 来缩小范围。

三、大致写法

double three_devide(double low,double up)
{
    double mid1,mid2;
    while(r-l>=eps)
    {
         mid1=l+(r-l)/3;
         mid2=r-(r-l)/3;
         if(check(mid1)<=check(mid2))
         l=mid1;
         else r=m2;
    }
    return (mid1+mid2)/2;
}

算法的正确性：

1、mid与midmid在最值的同一侧。由于凸性函数在最大值（最小值）任意一侧都具有单调性，因此，mid与midmid中，更大（小）的那个数自然更为靠近最值。此时，我们远离最值的那个区间不可能包含最值，因此可以舍弃。

2、mid与midmid在最值的两侧。由于最值在中间的一个区间，因此我们舍弃一个区间后，并不会影响到最值

三分大概就是这样了

回到题目：

思路：这道题只要理解清楚三分就不难，首先把l-r这个区间分成三部分（mid1和mid2）。接下来就是判断，我们因为要求最小值，所以我们要使得左边的值尽可能的小，这样最左边就是最小的。接下来就是判断最大值，就是找出mid1和mid2判断出来的最大值，判断如果mid1的最大值大于mid2，那就说明当前的队列不是左边最小，就把l移到mid1的位置，跳过不符合的那一段。如果小于，那就把r移到mid2的位置，在更左边寻找。经过这一循环的运算之后，我们就可以得到一个递增的序列，而这个序列的最左边就是最小值。终结：判断出l的值就好了。

三分的示意图

【代码实现】

/*
一直用二分没做出来
上网查了才知道这是一道三分题
优秀博客：https://blog.youkuaiyun.com/pi9nc/article/details/9666627
https://blog.youkuaiyun.com/xu0_zy/article/details/79417463
三分的正确表达式山峰似的存在，先上再下 
三分的标志就是：区间
看到区间求最小值的话，就可以尝试往二分三分这里想，尤其三分 
*/
#include<cstdio>
#include<cstring>
#include<algorithm>
using namespace std;
inline int read()
{
	char c=getchar();
	int x=0,f=1;
	while(c<48 || c>57)
	{
		if(c=='-') f=-1;
		c=getchar();
	}
	while(c>=48 && c<=57)
	{
		x=x*10+c-48;
		c=getchar();
	}
	return x*f;
}
int n;
double a[210000],b[210000],c[210000];
double check(double x)
{
	double maxx=a[1]*x*x+b[1]*x+c[1];//当前这组数据中的第一组的函数值 
	for(int i=2;i<=n;i++)
	{
		maxx=max(maxx,a[i]*x*x+b[i]*x+c[i]);//找出当前这组的最大函数值
		//虽然说是找最小的值，但是不能为min，不然就会全部的答案都为0
		//我们的目标只是缩小区间来寻找而已 
	}
	return maxx;
}
int main()
{
	int t; t=read();
	while(t--)
	{
		n=read();
		for(int i=1;i<=n;i++){a[i]=read(); b[i]=read(); c[i]=read();}
		double l=0,r=1000;//总的区间就是0-1000 
		while(r-l>=1e-9)
		//1*10的-9次方，可以算是一个很极限的最小值了但不能为0，因为要保证有队列 
		/*
		1e+10实际上是指1乘以10的10次方
		例如科学计数法中：
		234 可以记为： 2.34e+2 //2.34*10的2次方 
		0.0234 可以记为： 2.34e-2 //2.34*10的-2次方 
		*/ 
		{
			double mid1=l+(r-l)/3.0,mid2=r-(r-l)/3.0;
			//这就是三分的表示，整段距离除以3再+l的距离就是第一个中间点的位置
			//l-整段距离除以3就是第二个中间点的位置 
			if(check(mid1)>check(mid2)) l=mid1;
			//如果左边比右边大，说明小的值在右边，去右边找 
			else r=mid2;//否则去左边
			//最后还是要更新mid1和mid2的值 
		}
		printf("%.4lf\n",check(l));//最后判断这个l的值
	}
	return 0;
}