day50【代码随想录】动态规划之不同的子序列、两个字符串的删除操作、编辑距离

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前言

1、不同的子序列
2、两个字符串的删除操作
3、编辑距离

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一、不同的子序列（力扣115）【hard】

给定一个字符串 s 和一个字符串 t ，计算在 s 的子序列中 t 出现的个数。

字符串的一个 子序列 是指，通过删除一些（也可以不删除）字符且不干扰剩余字符相对位置所组成的新字符串。（例如，“ACE” 是 “ABCDE” 的一个子序列，而 “AEC” 不是）

分析：
求有多少种删除元素的方式，使s变成t
1、dp数组以及下标含义
dp[i][j]：以i-1为结尾的s中有以j-1为结尾的t的个数为dp[i][j]
2、递推公式

s[i-1] == t[j-1] dp[i][j] = dp[i-1][j-1] (使用s[i-1]这个元素) + dp[i-1][j](不使用s[i-1]这个元素 使用s[i-1]之前的元素)

那么如果不相等的话 else dp[i][j] = dp[i-1][j] 也就是不使用s[i-1]这个元素
3、初始化
根据递推公式
dp[i][0] —> s[i-1] t[-1] -1相当于是空字符串，t是空字符号串 s不是空的，s中的元素全部删除之后我们的s就变成了空字符串，因此只有这一种方法使s变成t。dp[i][0] = 1;

dp[0][j] —> s[-1] t[j-1] s是空字符串 t不是空的，没有任何一种方法可以使s变成t，因此dp[0][j] =0;

这两个中间有一个交集 dp[0][0] —> s是空字符串 t是空字符串 有一种方法可以让s变成t。因此dp[0][0] = 1;

4、遍历顺序
从前往后 两个字符串顺序不能颠倒
5、举例推导dp数组
以s：“baegg”，t："bag"为例，推导dp数组状态如下：

class Solution {
    public int numDistinct(String s, String t) {
        char[] ss = s.toCharArray();
        char[] tt = t.toCharArray();

        int[][] dp = new int[ss.length+1][tt.length+1];
        for(int i=0;i<=ss.length;i++){
            dp[i][0] = 1;
        } 
        for(int i=1;i<=ss.length;i++){
            for(int j=1;j<=tt.length;j++){
                if(ss[i-1]==tt[j-1])
                    dp[i][j] = dp[i-1][j-1]+dp[i-1][j];
                else
                    dp[i][j] = dp[i-1][j];
            }
        }
        return dp[ss.length][tt.length];
    }
}

二、两个字符串的删除操作（力扣583）

给定两个单词 word1 和 word2 ，返回使得 word1 和 word2 相同所需的最小步数。

每步 可以删除任意一个字符串中的一个字符。

思路一

分析：
本题和.不同的子序列相比，其实就是两个字符串都可以删除了，情况虽说复杂一些，但整体思路是不变的。
1、dp数组以及下标含义
dp[i][j]：以i-1为结尾的word1中有以j-1为结尾的word2想要达到相等，所需要删除元素的最少次数。
2、递推公式
if(word1[i-1] == word2[j-1]) dp[i][j] = dp[i-1][j-1]

else dp[i][j] = min(dp[i][j-1]+1, dp[i-1][j]+1)

3、初始化
for(int i=0;i<word1.length();i++) dp[i][0] = i
for(int j=0;j<word2.length();i++) dp[0][j] = j

4、遍历顺序
从左到右 从上到下
5、举例推导dp数组
以word1:“sea”，word2:"eat"为例，推导dp数组状态图如下：

class Solution {
    public int minDistance(String word1, String word2) {
       int[][] dp = new int[word1.length()+1][word2.length()+1];

       //初始化
       for(int i=0;i<=word1.length();i++){
           dp[i][0] = i;
       }
       for(int j=0;j<=word2.length();j++){
           dp[0][j] = j;
       }

       //遍历
       for(int i=1;i<=word1.length();i++){
           for(int j=1;j<=word2.length();j++){
               if(word1.charAt(i-1)==word2.charAt(j-1)){
                   dp[i][j] = dp[i-1][j-1];
               }
               else dp[i][j] = Math.min(Math.min(dp[i-1][j]+1,dp[i][j-1]+1),dp[i-1][j-1]+2);
           }
       }
       return dp[word1.length()][word2.length()];
    }
}

思路二

本题和最长公共子序列基本相同，只要求出两个字符串的最长公共子序列长度即可，那么除了最长公共子序列之外的字符都是必须删除的，最后用两个字符串的总长度减去两个最长公共子序列的长度就是删除的最少步数。

class Solution {
    public int minDistance(String word1, String word2) {
        char[] word11 = word1.toCharArray();
        char[] word22 = word2.toCharArray();

        int[][] dp = new int[word11.length+1][word22.length+1];

        int res = 0;

        for(int i=1;i<=word11.length;i++){
            for(int j=1;j<=word22.length;j++){
                if(word11[i-1] == word22[j-1]){
                    dp[i][j] = dp[i-1][j-1]+1;
                }
                else{
                    dp[i][j] = Math.max(dp[i-1][j],dp[i][j-1]);
                }
                res = Math.max(res,dp[i][j]);
            }
        }
        return word11.length+word22.length-res*2;
    }
}

return word11.length+word22.length-res2; 注意最后一定要2

三、编辑距离（力扣72）【hard】

给你两个单词 word1 和 word2， 请返回将 word1 转换成 word2 所使用的最少操作数 。

你可以对一个单词进行如下三种操作：

插入一个字符
删除一个字符
替换一个字符

分析：
把word1转换为word2 而且可以进行三种操作
动态规划解决的经典题目
1、dp数组以及下标含义
dp[i][j]：以i-1为结尾的word1中有以j-1为结尾的word2想要达到相等，所需要操作元素的最少次数。
2、递推公式
if(word1[i-1] == word2[j-1]) dp[i][j] = dp[i-1][j-1]
如果不相等：

• 增
• 删

dp[i][j] = min(dp[i-1][j]+1 dp[i][j-1]+1) 删除元素 操作数+1

假设
word1: ab
word2: a
那么word1删除一个元素b和word2添加一个元素a的操作次数是一样的
逆向操作，操作次数是一样的

• 替换

dp[i][j] = dp[i-1][j-1]+1
替换一个元素才能达到word1[i] == word2[j]

因此 dp[i][j] = min(dp[i-1][j]+1, dp[i][j-1]+1, dp[i-1][j-1]+1)

3、初始化
for(int i=0;i<word1.length();i++) dp[i][0] = i
for(int j=0;j<word2.length();i++) dp[0][j] = j

4、遍历顺序
从左到右 从上到下
5、举例推导dp数组
输入：word1 = “horse”, word2 = "ros"为例，dp矩阵状态图如下：

class Solution {
    public int minDistance(String word1, String word2) {
        int[][] dp = new int[word1.length()+1][word2.length()+1];

        //初始化
        for(int i=0;i<=word1.length();i++){
            dp[i][0] = i;
        }
        for(int j=0;j<=word2.length();j++){
            dp[0][j] = j;
        }
        for(int i=1;i<=word1.length();i++){
            for(int j=1;j<=word2.length();j++){
                if(word1.charAt(i-1)==word2.charAt(j-1)){
                    dp[i][j] = dp[i-1][j-1];
                }
                else{
                    dp[i][j] = Math.min(Math.min(dp[i-1][j]+1, dp[i][j-1]+1),dp[i-1][j-1]+1);
                }
            }
        }
        return dp[word1.length()][word2.length()];
    }
}

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