数据结构知识整理17拓扑排序、AOE网与关键路径

拓扑排序

设G=（V，E）是一个具有n个顶点的有向图，V中顶点序列v1，v2，…，vn为一个拓扑序列，当且仅当该顶点序列满足下列条件：若<vi，vj>是图中的边（即从顶点vi到顶点vj有一条路径），则在序列中顶点vi必须排在顶点vj之前。

在一个有向图中找一个拓扑序列的过程称为拓扑排序。

拓扑排序方法：

1. 从有向图中选择一个没有前驱（即入度为0）的顶点并且输出它。
2. 从图中删去该顶点，并且删去从该顶点出发的全部有向边。
3. 重复上述两步，直到图中不再存在没有前驱的顶点为止。

这样操作的结果有两种：1是图中全部顶点都被输出，说明图中不存在有向回路；2是图中顶点未被全部输出，剩余的顶点均有前驱顶点，说明图中存在有向回路。
 

AOE网与关键路径

若用前面介绍过的带权有向图（DAG）描述工程的预计进度，以顶点表示事件，有向边表示活动，边e的权c（e）表示完成活动e所需要的时间（如天数）或者活动e持续的时间。图中入度为0的顶点表示工程的开始事件（如开工仪式），出度为0的顶点表示工程的结束事件。这样的有向图称为AOE网（Activity On Edge）。

通常每个工程只有一个开始事件和一个结束事件，因此表示工程的AOE网都只有一个入度为0的顶点，称为源点（source），和一个出度为0的顶点，称为汇点（converge）。若图中存在多个入度为0的顶点，只要加一个虚拟源点，使这个虚拟源点到原来所有入度为0的点都有一条长度为0的边，将图变成只有一个源点。对存在多个汇点情况做类似处理。

利用AOE网，能够计算完成整个工程预计需要多少时间，并找出影响工程进度的“关键活动”，从而为决策者提供修改各活动的预计进度的依据。

在AOE网中，从源点到汇点的所有路径中，具有最大路径长度的路径称为关键路径。完成整个工程的最短时间就是网中关键路径的长度，也就是网中关键路径上各活动持续时间的总和，把关键路径上的活动称为关键活动。因此，只要找出AOE网中的关键活动，也就找到了关键路径。