∑
j
=
1
h
−
1
2
h
−
j
∙
j
≤
(
2
n
)
∑
j
=
1
h
−
1
j
/
2
j
≤
4
n
\sum_{j=1}^{h-1}2^{h-j} \bullet j \leq(2n)\sum_{j=1}^{h-1} j/2^j \leq 4n
j=1∑h−12h−j∙j≤(2n)j=1∑h−1j/2j≤4n
先证明左侧，首先通过二叉树的性质可以得出，若二叉树的高度为h，节点个数为n，则
2
h
−
1
≤
n
≤
2
h
−
1
2^{h-1} \leq n \leq 2^h-1
2h−1≤n≤2h−1
最多的情况下二叉树是满二叉树，第1层1个节点，第2层2个，第3层4个…，由等比数列的前n项和，可得出
n
=
2
h
−
1
n = 2^h-1
n=2h−1
最少的情况下第 1 层到第 h - 1 层构成满二叉树，第h层只有一个节点，此时
n
=
2
h
−
1
−
1
+
1
=
2
h
−
1
n=2^{h-1}-1+1=2^{h-1}
n=2h−1−1+1=2h−1
因此有
2
h
≤
2
n
2^h \leq 2n
2h≤2n
代入左侧
∑
j
=
1
h
−
1
2
h
−
j
∙
j
≤
2
h
∑
j
=
1
h
−
1
j
/
2
j
≤
(
2
n
)
∑
j
=
1
h
−
1
j
/
2
j
\sum_{j=1}^{h-1}2^{h-j} \bullet j \leq 2^h \sum_{j=1}^{h-1} j/2^j \leq(2n) \sum_{j=1}^{h-1} j/2^j
j=1∑h−12h−j∙j≤2hj=1∑h−1j/2j≤(2n)j=1∑h−1j/2j
再来看右侧，
∑
j
=
1
h
−
1
j
/
2
j
=
1
2
+
2
2
2
+
⋯
+
h
−
1
2
h
−
1
\sum_{j=1}^{h-1} j/2^j = \frac{1}{2}+\frac{2}{2^2}+ \cdots+\frac{h-1}{2^{h-1}}
j=1∑h−1j/2j=21+222+⋯+2h−1h−1
S
=
1
2
+
2
2
2
+
3
2
3
+
⋯
+
h
−
1
2
h
−
1
S=\frac{1}{2}+\frac{2}{2^2}+\frac{3}{2^3} + \cdots+\frac{h-1}{2^{h-1}}
S=21+222+233+⋯+2h−1h−1
2
S
=
1
+
2
2
+
3
2
2
+
4
2
3
+
⋯
+
h
−
1
2
h
−
2
2S=1+\frac{2}{2}+ \frac{3}{2^2}+\frac{4}{2^3}+\cdots+\frac{h-1}{2^{h-2}}
2S=1+22+223+234+⋯+2h−2h−1
由
2
S
−
S
得
，
S
=
2
−
1
2
+
1
2
2
+
1
2
3
+
⋯
+
1
2
h
−
2
−
h
−
1
2
h
−
1
由2S-S得， S=2-\frac{1}{2}+\frac{1}{2^2}+\frac{1}{2^3}+\cdots+\frac{1}{2^{h-2}}-\frac{h-1}{2^{h-1}}
由2S−S得，S=2−21+221+231+⋯+2h−21−2h−1h−1
通过等比数列求和公式，可得
S
=
2
−
1
2
h
−
2
−
h
−
1
2
h
−
1
S=2-\frac{1}{2^{h-2}}-\frac{h-1}{2^{h-1}}
S=2−2h−21−2h−1h−1
lim
h
→
+
∞
2
−
1
2
h
−
2
−
h
−
1
2
h
−
1
=
2
\lim_{h \to +\infty }2-\frac{1}{2^{h-2}}-\frac{h-1}{2^{h-1}}=2
h→+∞lim2−2h−21−2h−1h−1=2
因此，右侧成立。
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