（详细）快速幂算法及效率分析 大数幂乘 快速幂取余（附测试时间）

快速幂

问题：求a^b % m，即a的b次方对m取余的结果。

只要学过C语言的循环就可以写出最简单的朴素版本：

朴素版

typedef long long LL;
LL normal_Edition(LL a, LL b, LL m)
{
   
   //朴素版本
    LL ans = 1;
    for(int i = 0; i < b; ++i)
        ans *= a;
    ans = ans % m;
    return ans;
}

时间复杂度O（b），空间复杂度达到了惊人的O（a^b）的指数级。

考虑问题规模：a < (10 ^ 9)， b < (10 ^ 6)，m < (10 ^ 9)。

问题出现了：这样的算法在求a的b次幂的时候就极其容易溢出，即便用long long也是如此。

我们有取模运算的运算法则：
(a * b) % p = (a % p * b % p) % p

在这里不加证明的使用。

所以在这个前提下，我们可以在求a的b次幂的同时，每次对m进行%操作，这样可以使得ans不会越界。

根据思想可以写出以下代码：

改进版

LL advanced_Edition(LL a, LL b, LL m)
{
   
   //普通优化
    LL ans = 1;
    for(int i = 0; i < b; ++i)
        ans = ans * a % m;
    return ans;
}

时间复杂度O（b），空间复杂度为的O（max（a，m）），此时溢出的问题是得到了解决。

但如果考虑问题规模：a < (10 ^ 9)， b < (10 ^ 18)，m < (10 ^ 9)，这样显然又无法满足需要了。

快速幂

这时候引入快速幂，它基于二分的思想，所以也称为二分幂。

不难注意到这样的事实：求a^b的过程中，b只有两种情况：奇数或偶数。

若b为偶数，则a^b = a^(b/2) * a^(b/2)。

若b为奇数，则a^b = a * a ^ (b-1)。且从下一次开始，b必然为偶数的情况。

基于以上思想就可以成功把求幂过程的复杂度降为（logb）。这样就可以满足原规模的数据了。

根据思想写出以下递归版本代码：

递归版：

LL fast_Rec_Edition(LL a, LL b, LL m)
{
   
   //快速幂 递归实现
    LL ans = 1;
    if(b == 0) return 1;
    if(b & 1