luogu P1582 倒水

O（logn）解法：

根据题目进行分析，不难发现2^n个瓶子可以合并到一个瓶子里（此n非彼n，不是题目里的n，而是一个任意的数），于是可以想到可以把n（题目所给的n）拆成多个2的次方相加的形式，即把n转换成二进制，然后统计有多少个1,1的个数就是不买新瓶子时所能达到的最优情况中瓶子的个数（即把瓶子合并成最少时瓶子的个数），用一个变量num来记录这个数。如果num<=k，那么就不用再买新瓶子，如果num>k，我们就需要通过买新瓶子来减少1的个数。拿第二个样例来分析，n=13,k=2，把n转化成二进制：1101，为了使买的瓶子最少，我们从最小位（最右边的位）往左扫，如果当前i位置对应的二进制值为1，那我们就把n加上2^(i-1)（为什么是i-1？因为二进制中从右往左数第i位对应的值就是2^(i-1)），这样二进制数就变成了1110，可以发现1的个数并没有减少，但是继续往左扫，当i=2时,第i位（以后第几位都是指从右往左数）的二进制值为1，那就给n加上2^(2-1)，此时n变成了10000，1的个数就减少了。此时1的个数为1，小于k，于是答案为2^(1-1)+2^(2-1)=3。不难发现，当第i位为1时，左边与它相连的（不包括他本身）有多少个1，在加上2^(2-1)后就会减少多少个1，这就是解本题的原理。也许你会想，当n=13时，直接加上2^(3-1)不就满足条件了吗，为什么一定要从右往左扫？可以发现2^(3-1) > 2^(1-1)+2^(2-1)，所以从右往左扫依然最优。并且这个性质具有通性：2^i > ∑ 2^j（0<j<i）。

#include <iostream>
#include <cstdio>
using namespace std;
int read()
{
	int x=0,f=1;
	char c=getchar();
	while(c<'0'||c>'9')
	{
		if(c=='-')  f=-1;
		c=getchar();
	}
	while(c>='0'&&c<='9')
	{
		x=x*10+c-'0';
		c=getchar();
	}
    return f*x;
}
int n,k,ans,num,pre1,pre2;
int main()
{
	n=read();  k=read();
	for(int i=0;i<=31;i++)  if((n&(1<<i)))  num++;
	for(int i=0;i<=31;i++)
	  if((n&(1<<i)))
	  {
	  	if(num<=k)  break;
	  	ans+=(1<<i);
	  	pre1=i;  pre2=k;
		while((n&(1<<(i+1))))
		{
			i++;
			num--;
			if(num<=k)  break;
		}
		n+=(1<<pre1);
		if(num<pre2)  i--;
	  }
	cout<<ans;
	return 0;
}