数学在算法中的应用

数学

快速幂

定义：快速幂就是快速算底数的$n$次幂。其时间复杂度为 $O(log₂N)$， 与朴素的$O(N)$相比效率有了极大的提高。

原理
比如说计算2的13次方，常见的方法是连续乘2 $13$次，时间复杂度为$O(n)$;
但是快速幂算法可以压缩到$O(log₂N)$。
具体算法是这样的 将13化成二进制数 即1101（8421就是这么皮）我们可以一眼看出来，但计算机就不行了，得帮它算。转过来一想，不就是要知道二进制每一位的值吗,话不多说看代码（talk is cheaper,show me your code)

int b=13;
while(b>0){
  //判断b的最后一位
  if(b&1) {
  }
  b=b>>1;//右移一位
}

那么知道每一位又有什么用呢,下面的公式就是快速幂的原理
$$2^{13}=2^1\ast 2^4\ast 2^8$$
比如说求$a$的$b$次方

//快速幂算法，代码虽短，技术含量不低哦
int quickpower(int a,int b){
  int ans=1,base=a;
  while(b>0){
  if(b&1) ans=ans*base;
  base=base*base;//基数自乘
  b=b>>1;/右移一位
  }
  return 0;
}

调和级数

定义 调和级数是由调和数列各元素相加所得的和。

公式$$Sn=1+\frac{1}{2}+\frac{1}{3}+\frac{1}{4}+\frac{1}{5}+...+\frac{1}{n}=\sum _{k=1}^n\frac{1}{k}$$
欧拉推导过求调和级数有限多项式和的表达式为$$\sum _{k=1}^n\frac{1}{k}=ln(n+1)+\gamma (\gamma \approx 0.5772156649)$$

已知
$$Sn=1+\frac{1}{2}+\frac{1}{3}+\frac{1}{4}+\frac{1}{5}+...+\frac{1}{n}$$
显然对于任意一个整数 k,当n足够大的时候Sn>k。
$$Sn>k\Rightarrow ln(n+1)+\gamma >k\Rightarrow n>e^{k-\gamma }-1所以n=e^{k-\gamma }+0.5（四舍五入）$$

组合数学

数论

卡特兰数

定义：卡塔兰数是组合数学中一个常在各种计数问题中出现的数列。

卡特兰数	0	1	2	3	4	5	6	7	8	…
值	1	1	2	5	14	42	132	429	1430	…

递推式
$$H(n)=\frac{H(n-1)\ast (4n-2)}{n+1}(n\ge 2,n\in N^{+})$$
Catalan 数的常见公式：
$$H(n)=\frac{\left(\genfrac{}{}{0ex}{}{2n}{n}\right)}{n+1}$$
$$H(n)=\left(\genfrac{}{}{0ex}{}{2n}{n}\right)-\left(\genfrac{}{}{0ex}{}{2n}{n-1}\right)$$
常见问题

• 排队买票问题
  有 $2n$个人排成一行进入剧场。入场费 5 元。其中只有 个人有一张 5 元钞票，另外 人只有 10 元钞票，剧院无其它钞票，问有多少中方法使得只要有 10 元的人买票，售票处就有 5 元的钞票找零？
• 上班问题
  一位大城市的律师在她住所以北 $n$个街区和以东 $n$个街区处工作。每天她走 $2n$个街区去上班。如果他从不穿越（但可以碰到）从家到办公室的对角线，那么有多少条可能的道路？
• 出栈序列问题
  一个栈（无穷大）的进栈序列为 有多少个不同的出栈序列？

洛谷 P1044 栈

#include <iostream>
using namespace std;
int n;
long long f[25];
int main() {
  f[0] = 1;
  cin >> n;
  for (int i = 1; i <= n; i++) 
  f[i] = f[i - 1] * (4 * i - 2) / (i + 1);//卡特兰公式
  
  cout << f[n] << endl;
  return 0;
}