算法设计 第十章 PSPACE：EXTENDING TRACTABILITY 扩展解的易解性

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1 前言

我们已经看到NPC问题以及PSPACEC问题是非常难解的问题，但是存在一些特殊情况，使得这些难解的问题变得容易求解。比如 这种问题有某种结构，我们利用这种结构信息来降低复杂度。相当于有了部分先验。

2 例子

2.2寻找最小点集覆盖

给定G(V,E)和整数k，找到一个大小不超过k的顶点覆盖集。
假设顶点个数为n，那么有$C_n^k$个不同子集，验证每个子集是否顶点覆盖需要O(kn)(两个循环 k*n/2)。总时间$O(kn{C}_n^k)=O(k{n}^{k+1})$。

定理一：
如果G(V，E)有n个顶点，顶点最大的度不超过d，并且有一个大小不超过k的顶点覆盖，则G最多有kd条边。

推论：
最大的度不可能超过n-1,因此G最多有k(n-1)<kn条边。

所以利用推论的结果，分治法

e={u，v}是G的任意一边。G有一个大小不超过k的顶点覆盖当且仅当
G-{u}或者G-{v}有一个大小不超过k-1的顶点覆盖。
这里的删除是指删除u或v为端点的边以及节点。

分治算法


时间复杂度由$O(k{n}^{k+1})$变为$2^{k}ckn$，关于n变为多项式而非指数，当n较大时可以求解。
总结：利用了图的结构知识降低复杂度。

2.3 solving NP-hard problems on trees

求G的最大独立集的势是多少，是npc问题，但是当G是树结构时，问题变得可解。

最大独立集一定包含叶节点。

因此贪婪法：

• e(u,v)是一条边,将叶节点加入S集合,同时删除与u，v关联的边，注意删除边，保留节点。
• 迭代直到没有边，将剩余孤立节点加入S

加权的独立集
每个节点有个权重，找到独立集，极大化权重和。

(u,v)是一条边，v是叶节点，OPT包括u或者包括包括所有与u相连的节点。

因此可以用动态规划

树结构的优点：一个树可以分解为多个子树。天然的适合分支以及动态规划求解，原问题分解为多个子问题。

2.4 圆弧覆盖物问题

波分复用：不同的波长可以用同一段电缆。

不同的颜色代表不同的波长。
k个颜色，m个圆弧，n个节点。
暴力算法需要O($k^m$)次计算。
通过切割

n个阶段每次$k!$次迭代。O(nk!)
最后对比切口处是否有一致的颜色。

2.5 二部图中的点集覆盖

二部图的最小覆盖的势等于最大匹配。
最大匹配=>构建最大流，求出最小覆盖。


证明暂略。