【CSP-S2022】星战题解

最新推荐文章于 2024-10-25 07:18:32 发布

原创最新推荐文章于 2024-10-25 07:18:32 发布 · 1.6k 阅读

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#算法 #c++ #图论 #hash

本文介绍了一种使用随机化算法解决特定图更新问题的方法。该问题要求在一系列操作后判断图中所有节点的出度是否均为1，并且所有边能够形成环。通过为每个节点分配一个独特的权重并利用这些权重进行哈希检查，可以高效地解决这个问题。

~~随机化的题都是好题。~~

考场遇上随机化是真的搞心态，何况正解是用随机化通过的题本蒻至今也只在考场上遇见过两道。。。

闲言少叙，书归正传。

题目是在初始时给定一张图，然后在图上进行下列四种操作：

将 $u, v$ 之间的边断开
将 $u, v$ 之间的边重连
将 $v$ 的所有入边断开
将 $v$ 的所有入边重连

并且保证断开和重连的总是原图中的边，每次操作后询问是否满足：

所有点的出度均为 $1$
所有边都能通往或属于一个环

仔细思考，会发现其实当第一个条件满足时，第二个条件会自动满足。那么我们判断是否有：所有点的出度均为 $1$ ，即可。

考虑当所有点的出度均为 $1$ 时，整张图的出度和为 $n$ ，所以判断出度和是否为 $n$ 即可。但是这么做会出现问题，即 $n = a + b = (a + 1) + (b - 1)$ 。

解决方案也很简单，我们给每个点一个尽可能不相同的权值 $w_i$ ，然后检查每个点的出度与其权值乘积的和是否等于 $∑i=1nwi\sum_{i=1}^nw_i$ 即可。这实际上相当于 Hash，权值可以直接用随机数指定（亲测令 $w_i=i+1$ 也能通过）。

这里给出一个用随机数的代码，时间复杂度 $Θ(n+m+q)\Theta(n+m+q)$ 。

#include<bits/stdc++.h>
using namespace std;
//星战

const int maxn = (int)5e5 + 5;
long long allin[maxn];
long long inv[maxn];
long long tot, YES;
int w[maxn];
int n, m, q;

int main() {
    srand(time(0));
    scanf("%d %d", &n, &m);
    for (int i = 1; i <= n; i++) w[i] = rand();
    for (int i = 1; i <= n; i++) YES += w[i];
    for (int i = 1; i <= m; i++) {
        int u, v;
        scanf("%d %d", &u, &v);
        allin[v] += w[u];
        tot += w[u];
    }
    for (int i = 1; i <= n; i++) inv[i] = allin[i];

    scanf("%d", &q);
    for (int i = 1; i <= q; i++) {
        int t, u, v;
        scanf("%d", &t);
        if (t == 1) {
            scanf("%d %d", &u, &v);
            inv[v] -= w[u];
            tot -= w[u];
        }
        if (t == 2) {
            scanf("%d", &v);
            tot -= inv[v];
            inv[v] = 0;
        }
        if (t == 3) {
            scanf("%d %d", &u, &v);
            inv[v] += w[u];
            tot += w[u];
        }
        if (t == 4) {
            scanf("%d", &v);
            tot -= inv[v];
            tot += allin[v];
            inv[v] = allin[v];
        }
        if (tot == YES) printf("YES\n");
        else printf("NO\n");
    }
    return 0;
}