排序算法-希尔排序

简介：

希尔排序(Shell’s Sort)是插入排序的一种又称“缩小增量排序”（Diminishing Increment Sort），是直接插入排序算法的一种更高效的改进版本。希尔排序是非稳定排序算法。该方法因D.L.Shell于1959年提出而得名。

算法思想：

倘若待排序列基本有序以及序列个数较少，则可以减少插入排序的比较次数，从而从整体上提高排序的效率。希尔排序就是基于这两点（待排序列元素较少以及序列元素基本有序）来实现的。
希尔排序实质上是采用分组插入的方法。先将整个待排序列分割成若干组，从而减少参与直接插入排序的数据量，对每组分别进行直接插入排序。然后增加每组的数据量，重新分组。这样经过若干次排序，整个序列中的记录变得基本有序时，再对整体序列进行一次插入排序。

例如上图：

1. 按增量为5划分为5组，每组仅两个元素，从而减少了插入排序的比较次数
2. 按增量为2划分为2组，每组5个元素，但是经过上一轮的排序，此次序列有序对明显增多
3. 按增量为1划分，直接进行一次插入排序

代码示例：

#include<bits/stdc++.h>
using namespace std;

void shell_insert(int *ars, int k, int n){
 	for(int i = k+1, j; i <= n; i++){
  		if(ars[i] < ars[i-k]){
   			ars[0] = ars[i];//数组[0]暂存数据 
   			for(j = i-k; j > 0 && ars[0] < ars[j]; j -= k)
    				ars[j+k] = ars[j];
   			ars[j+k] = ars[0];
  		}			
 	}
}

void shell_sort(int *ars, int n){
 	int k[] = {5, 3, 1};
 	for(int i = 0; i < 3; i++)
  		shell_insert(ars, k[i], n);
}

int main(){
 	int n = 10;
 	int ars[11];
 	for(int i = 1; i <= 10; i++)
  		ars[i] = rand() % n;
 	shell_sort(ars, n);
 	for(int i = 1; i <= 10; i++)
  		cout << ars[i] << " ";
 	return 0;
}

时间复杂度：

当增量大于1时，关键字较小的记录就不是一步一步地挪动，而是跳跃式地移动，从而使得在进行最后一次增量为1的插入排序中，序列已基本有序，只要做记录的少量排序和移动即可完成排序，因此希尔排序的时间复杂度低于插入排序。但具体分析，希尔排序的时间复杂度与选择的增量序列的函数有关。有关实验证明，当增量取2 ^ (t-k+1)时，希尔排序的时间复杂度为O(n ^ 3/2)，其中t为排序的趟数。若n趋向无穷大时，则可以见到n(log2n)^ 2。