二叉树基础知识点

一、结点

    概念：节点是数据结构中的基础，是构成复杂数据结构的基本组成单位。

二、树

    定义：树(Tree)是n(n>=0)个节点的有限集。n=0时称为空树。在任意一颗非空树中：

    ①有且仅有一个特定的称为根(Root)的结点；

    ②当n>1时，其余结点可分为m(m>0)个互不相交的有限集 T1、T2、...、Tn,其中每一个集合本身又是一颗树，并且称为根的子树。

 

    此外，树的定义还需要强调以下两点：

    ①n>0时根结点是唯一的，不可能存在多个根结点，数据结构中的树只能有一个根结点。

    ②m>0时，子树的个数没有限制，但它们一定是互不相交的。

    示例树:

 

    由树的定义可以看出，树的定义使用了递归的方式。 递归在树的学习过程中起到了重要作用。

 

2.1 结点的度

    结点拥有的子树数目称为结点的度。

    图2.2中标注了图2.1所示树各个结点的度。

 

2.2 结点关系

　　结点子树的根结点为该结点的孩子结点。相应该结点称为孩子结点的双亲结点。

    

　　同一个双亲结点的孩子结点之间称为兄弟结点。

 

2.3 结点层次

　　从根开始定义起，跟为第一层，根的孩子为第二层，以此类推。

 

2.4 树的深度

　　树中结点的最大层次数称为树的深度或者高度。图2.1所示树的深度为4.

 

 

三、二叉树

　　定义:二叉树是n(n>=0)个结点的有限集合，该集合或者为空集(称为空二叉树)，或者由一个根节点和两棵互不相交、分别成为根节点的左子树和右子树组成。

 

　　图展示了一棵普通二叉树。

 

3.1二叉树特点

　　①每个结点最多有两棵子树，所以二叉树中不存在度大于2的结点。

　　②左子树和右子树是有顺序的，次序不能任意颠倒。

　　③即使树中某结点只有一棵子树，也要区分它是左子树还是右子树。

 

3.2二叉树性质

　　①在二叉树的第i层上最多有2i-1 个结点。（i>=1）

　　②二叉树中如果深度为k，那么最多有 2k-1个结点。(k>=1)

　　③ n0=n2+1 n0，度数为0的结点数的数目等于度数为2的结点数加度数为1的结点数。

　　④在完全二叉树中，具有n个结点的完全二叉树的深度为[log2n]+1，其中[log2n]是向下取整。

　　⑤若对含n个结点的完全二叉树从上到下且从左至右进行1至n的编号，则对完全二叉树中任意一个编号为i的结点有如下特性：

    　　a.若i=1，则该结点事二叉树的根，无双亲，否则，编号为[i/2]的结点为其双亲结点；

    　　b.若2i>n,则该结点无左孩子，否则，编号为2i的结点为其左孩子结点

    　　c. 若 2i+1>n，则该结点无右孩子结点， 否则，编号为2i+1 的结点为其右孩子结点。

 

3.3斜树

　　所有结点都是左子树的二叉树叫左斜树。所有结点都是右子树的二叉树叫右斜树。两者统称为斜树。

 

3.4 满二叉树

　　在一棵二叉树中。如果所有分支结点都存在左子树和右子树，并且所有叶子都在同一层上，这样的二叉树成为满二叉树。

 

　　特点：

　　　　①叶子只能出现在最下一层，出现在其他层就不能达成平衡。

　　　　②非叶子结点的度一定是2。

　　　　③在同样深度的二叉树中，满二叉树的结点个数最多，叶子数最多。

 

 

3.5完全二叉树

　　对一棵具有n个结点的二叉树按层编号，如果编号为i(1<=i<=n)的结点与同样深度的满二叉树中编号为i的结点在二叉树中位置完全相同，则这棵二叉树称为完全二叉树。

 

　　特点：

　　　　①叶子结点只能出现在最下层和次下层。

　　　　②最下层的叶子结点集中在树的左部。

　　　　③倒数第二层若存在叶子结点，一定在右部连续位置。

　　　　④如果结点度为1，则该结点只有左子树，即没有右子树。

　　　　⑤同样结点数目的二叉树，完全二叉树深度最小。

 

　　　　ps：满二叉树一定是完全二叉树，但反过来不一定成立。