B-树和B+树

        在如今，随着数据库存储量越来越大，实践证明，分级存储才是行之有效的方法。在由内存与外存（磁盘）组成的二级存储系统中， 数据全集往往存放于外存中，计算过程中则可将内存作为外存的高速缓存，存放最常用数据项的 复本。借助高效的调度算法，如此便可将内存的“高速度”与外存的“大容量”结合起来。 两个相邻存储级别之间的数据传输，统称I/O操作。各级存储器的访问速度相差悬殊，故应 尽可能地减少I/O操作。仍以内存与磁盘为例，其单次访问延迟大致分别在纳秒（ns）和毫秒（ms） 级别，相差5至6个数量级。因此，我们应该关注外存的访问次数。

       当数据规模大到内存已不足以容纳时，常规平衡二叉搜索树的效率将大打折扣。其原因在于， 查找过程对外存的访问次数过多。例如，若将10^9个记录在外存中组织为AVL树，则每次查找大 致需做30次外存访问。那么，如何才能有效减少外存操作呢？ 为此，需要充分利用磁盘之类外部存储器的另一特性：就时间成本而言，读取物理地址连续 的一千个字节，与读取单个字节几乎没有区别。既然外部存储器更适宜于批量式访问，不妨通过 时间成本相对极低的多次内存操作，来替代时间成本相对极高的单次外存操作。相应地，需要将 通常的二叉搜索树，改造为多路搜索树。

        多路平衡搜索树：

    所谓m阶B-树（B-tree），即m路平衡搜索树：（m>=2）

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• 内部节点不超过m-1个关键码
• 内部节点的分支在sup(m/2)至m之间
• 所有外部节点（叶子节点）均深度相等

B-树的外部节点（external node）,它们实际上未必意味着查找失败， 而可能表示目标关键码存在于更低层次的某一外部存储系统中，顺着该节点的指示，即可深入至 下一级存储系统并继续查找

内部节点的模板类

#define BTNodePosi(T) BTNode<T>*    //B-树节点位置 
template <typename T>   //B-树节点模板类 
struct BTNode 
{ 
    BTNodePosi(T) parent; 	//父节点 
    vector<T> key; 	//关键码向量 
    vector<BTNodePosi(T)> child; 
    BTNode() { parent = NULL; child.insert(0, NULL); }   
 }; 

查找过程：

        与二叉搜索树类似，B-树的每一次查找过程中，在每一高度上至多访问 一个节点。这就意味着，对于高度为h的B-树，外存访问不超过O(h - 1)次。 

树高：

                                        

从图中的证明可以看出：树高不超过,从而查找的时间复杂度也不超过

B+树：

    是一种基于B-树的变形树，对于文件系统和数据库更加友好；

与B-树不同的是

• 其节点的关键字和分支数是相同的
• 内部节点不保存数据，只用来索引，所有数据都保存在叶节点
• 将每个叶节点连接起来，形成链表，以供查找

                      

你可以看到各层之间有重复元素，且叶节点被链接了起来；

每一个父节点都出现子元素中，且是子节点的最大或者最小元素；

B+树把所有信息都放在叶节点，而内部节点只用来索引，是为了更好的查询性能：

     B+树的内部结点并没有指向关键字具体信息的指针。因此其内部结点相对B 树更小。如果把所有同一内部结点的关键字存放在同一盘块中，那么盘块所能容纳的关键字数量也越多。一次性读入内存中的需要查找的关键字也就越多。相对来说IO读写次数也就降低了。

    举个例子，假设磁盘中的一个盘块容纳16bytes，而一个关键字2bytes，一个关键字具体信息指针2bytes。一棵9阶B-tree(一个结点最多8个关键字)的内部结点需要2个盘快。而B+ 树内部结点只需要1个盘快。当需要把内部结点读入内存中的时候，B 树就比B+ 树多一次盘块查找时间(在磁盘中就是盘片旋转的时间)。

    并且对于查找某个区间的数据，那么就可以通过叶节点的链表性质，实现更加方便的查找，而B-树却做不到；