杭电ACM1007

先说下题意，很简单，给n个点的坐标，求距离最近的一对点之间距离的一半。

第一行是一个数n表示有n个点，接下来n行是n个点的x坐标和y坐标。实数。

 

这个题目其实就是求最近点对的距离。《算法导论》上有详细讲解，王晓东的书上也有代码。主要思想就是分治。先把n个点按x坐标排序，然后求左边n/2个和右边n/2个的最近距离，最后合并。

合并要重点说一下，比较麻烦。

 

首先，假设点是n个，编号为1到n。我们要分治求，则找一个中间的编号m，先求出1到m点的最近距离设为d1，还有m+1到n的最近距离设为d2。这里的点需要按x坐标的顺序排好，并且假设这些点中，没有2点在同一个位置。（若有，则直接最小距离为0了）。

 

然后，令d为d1, d2中较小的那个点。如果说最近点对中的两点都在1-m集合中，或者m+1到n集合中，则d就是最小距离了。但是还有可能的是最近点对中的两点分属这两个集合，所以我们必须先检测一下这种情况是否会存在，若存在，则把这个最近点对的距离记录下来，去更新d。这样我们就可以得道最小的距离d了。

 

关键是要去检测最近点对，理论上每个点都要和对面集合的点匹配一次，那效率还是不能满足我们的要求。所以这里要优化。怎么优化呢？考虑一下，假如以我们所选的分割点m为界，如果某一点的横坐标到点m的横坐标的绝对值超过d1并且超过d2，那么这个点到m点的距离必然超过d1和d2中的小者，所以这个点到对方集合的任意点的距离必然不是所有点中最小的。

 

 

所以我们先把在m为界左右一个范围内的点全部筛选出来，放到一个集合里。

筛选好以后，当然可以把这些点两两求距离去更新d了，不过这样还是很慢，万一满足条件的点很多呢。这里还得继续优化。首先把这些点按y坐标排序。假设排序好以后有p个点，编号为1到p。那么我们用1号去和2到p号的点求一下距离，然后2号和3到p号的点求一下距离。。。还没完，因为这样比，求的次数还是O(p^2), 所以其实和没优化没区别。

 

假设有一个点q,坐标是xq, yq。可以证明在以q为底边中点，长为2d，宽为d的矩形区域内不会有超过6个点。具体证明过程可以参看算法导论。

利用这个结论我们就可以来继续优化比较的过程了。刚刚我们是用用1号点去和2到p号的点求一下距离，我们知道以1号点构造图中矩形内，不会有超过6个点存在。但是我们又不能直接从1号求到6号，因为这里的p个点是按y坐标排序而不是按距离排序的，有可能在y坐标上，前10个点距离1号点都很近，但是前6个点的x坐标很远，而第10个点的x坐标和1号点的x坐标很进，这样第10个点到1号点的距离反而更近。

那么我们怎么利用这个结论呢？应该这样，假设1号点和2到p号点比较，由于y坐标排序的缘故，假设第p个点的y坐标距离1号点的y坐标大于当前能求出的最小值，那么这点以及这点后的所有点距离1号点的距离必然大于当前已经获得的最小值，所以直接不用比较后面的了。
又因为满足比较条件的点很少，不会超过6个，所以这里可以看成O(1)的效率。那么整个算法的效率大概是在O(nlogn)，非常快！

/*分治算法求最小点对*/  

1. /*AC代码：828ms*/  
2. #include <iostream>  
3. #include <cmath>  
4. #include <algorithm>  
5. #define MAXN 100005  
6. //#define min(a,b) (a<b?a:b)//为什么用这个就超时！！！  
7. using namespace std;  
8. struct Point  
9. {  
10.     double x,y;  
11. };  
12. struct Point point[MAXN],*px[MAXN],*py[MAXN];  
13. double get_dis(Point *p1,Point *p2)  
14. {  
15.     return sqrt((p1->x-p2->x)*(p1->x-p2->x)+(p1->y-p2->y)*(p1->y-p2->y));  
16. }  
17. bool cmpx(Point *p1,Point *p2) {return p1->x<p2->x;}  
18. bool cmpy(Point *p1,Point *p2) {return p1->y<p2->y;}  
19. double min(double a,double b){return a<b?a:b;}  
20. //-------核心代码------------//  
21. double closest(int s,int e)  
22. {  
23.     if(s+1==e)  
24.         return get_dis(px[s],px[e]);  
25.     if(s+2==e)  
26.         return min(get_dis(px[s],px[s+1]),min(get_dis(px[s+1],px[e]),get_dis(px[s],px[e])));  
27.     int mid=(s+e)>>1;  
28.     double ans=min(closest(s,mid),closest(mid+1,e));//递归求解  
29.     int i,j,cnt=0;  
30.     for(i=s;i<=e;i++)//把x坐标在px[mid].x-ans~px[mid].x+ans范围内的点取出来  
31.     {  
32.         if(px[i]->x>=px[mid]->x-ans&&px[i]->x<=px[mid]->x+ans)  
33.             py[cnt++]=px[i];  
34.     }  
35.     sort(py,py+cnt,cmpy);//按y坐标排序  
36.     for(i=0;i<cnt;i++)  
37.     {  
38.         for(j=i+1;j<cnt;j++)//py数组中的点是按照y坐标升序的  
39.         {  
40.             if(py[j]->y-py[i]->y>=ans)  
41.                 break;  
42.             ans=min(ans,get_dis(py[i],py[j]));  
43.         }  
44.     }  
45.     return ans;  
46. }  
47. int main()  
48. {  
49.     int i,n;  
50.     while(scanf("%d",&n)!=EOF)  
51.     {  
52.         if(n==0)  
53.             break;  
54.         for(i=0;i<n;i++)  
55.         {  
56.             scanf("%lf%lf",&point[i].x,&point[i].y);  
57.             px[i]=&point[i];  
58.         }  
59.         sort(px,px+n,cmpx);  
60.         //for(i=0;i<n;i++)  
61.         // printf("(%.2lf,%.2lf)--",px[i].x,px[i].y);  
62.         double distance=closest(0,n-1);  
63.         printf("%.2lf\n",distance/2);  
64.     }  
65.     return 0;  
66. }