斐波那契数列高效算法-优快云博客

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题目描述
大家都知道斐波那契数列，现在要求输入一个整数n，请你输出斐波那契数列的第n项（从0开始，第0项为0）。n<=100000

解：

都知道这个东西其实就是f(n) = f(n-1) + f(n-2)。这一题的第一个解法递归法就是直接代入即可。

解法1递归法：
```
public class Solution {
    public int Fibonacci(int n) {
    	if(n <= 1)
    		return n;
    	return Fibonacci(n-1) + Fibonacci(n-2);
    }
}
```
递归的缺点就是非常的吃内存，一旦题目的深度过大，就会因为同时开太多的内存out of memory。

比如说f(4)
= f(3) + f(2)
= f(2) + f(1) + f(1) + f(0)
= f(1) + f(0) + f(1) + f(1) + f(0)。

关是一个f(4)就同一时间开了五个方法，开了过多的方法就会占用太多的内存。

而且，关是f(1)的答案就记录了3次，在时间的消耗上也是非常的大，远超o(n)。
解法2迭代法：
```
public class Solution {
    public int Fibonacci(int n) {
    	int[] array = new int[n+1];
    	array[0] = 0;
    	array[1] = 1;
    	for(int i=2; i<=n; i++){
    		array[i] = array[i-1] + array[i-2];
    	}
    	return array[i];
    }
}
```
修复了递归的一系列问题，首先解决了非常吃内存的问题，只是开数组的话，比开一个方法所消耗的内存要少很多。

其次是加快了时间，到达了O(n)的复杂度。

但是还是很消耗内存空间，一旦传入的n太大，就要创建一个非常大的数组。
解法3迭代节约空间：
```
public class Solution {
    public int Fibonacci(int n) {
        if(n <= 1)
            return n;
        
        int tem1 = 0;
        int tem2 = 1;
        
        for(int i=2; i<=n; i++){
            tem2 = tem2 + tem1;
            tem1 = tem2 - tem1;
        }
        return tem2;
    }
}
```
由于数组中某一个数的值和且只和前面两个数相关，所以只要一直更新这两个数的值即可。

由f(n) = f(n-1) + f(n-2)可以推算出，f(n+1) = f(n+2) - f(n)

拿f(4)进行验算：
i=2，tem2 = 1+0=1，tem1 = 1-0=1；
//先将tem2更新到array[2]，再将tem1更新到array[1]（array[2]-array[0]得到）
i=3，tem2 = 1+1=2，tem1 = 2-1=1；
i=4，tem2 = 2+1=3，tem1 = 3-1=2；

相比上一种方法节约了更多的空间，可以说是O(n)复杂度下的最优解了。

解法4尾递归：

尾递归同样避免了内存使用过多的问题，

public class Solution {
    public int Fibonacci(int n) {
    	return 
    }

	
	/**
	 计算第n位斐波那契数列的值
	  
	 @param n 第n个数
	 @param acc1 第n个数
	 @param acc2 第n与第n+1个数的和
	 @return 返回斐波那契数列值
	 */
	public int Fibonacci(int n, int acc1, int acc2){
		if(n <= 1)
			return n;
		return Fibonacci(n-1, acc2, acc1 + acc2);
	}
}