洛谷P1338 末日的传说_洛谷拯救末日-优快云博客

本文详细解析洛谷P1338题目，介绍了一种求解字典序最小排列的方法，通过递归缩小问题规模，利用逆序对的概念确定每个数的位置，最终实现O(n)的时间复杂度。

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题目：

https://www.luogu.org/problem/P1338

原文：

https://www.luogu.org/blog/user11765/solution-p1338

思路：

我们考虑把这个问题缩小范围。

比如n=5，在决定了最小的数“1”的位置之后，剩下的几个数是2 3 4 5，但是他们

具体是多少没必要关心，我们只要关心他们的相对大小关系。

所以考虑完当前最小的数，算出这个数对答案的贡献，然后减掉这个贡献，

就可以转而解决一个更小的子问题。（即n-->n-1）

回到题目上，要求是求一个有m个逆序对的字典序最小的排列。

我们知道一个长度为n的排列最多有(n-1)*n/2个逆序对，也知道一个排列的逆序对数越多，排列字典序越大。

所以如果当前m不比当前的(n-2)*(n-1)/2（也就是减少一个数之后的最多的逆序对数）大，

就可以直接把当前的最小数放在最前面，这肯定是最优的。

反之，则考虑最小数的放置位置。

假设当前排列长为n，最小数为a，则a有n种放法，放在从左到右第i个位置时会生成i-1个逆序对

（因为它左边有i-1个比他大）。

因为m大于n-1长度排列最多所能产生的逆序数，所以a不可能放在最前面，否则不满足条件。

怎么办呢？想到之前说的逆序对越多字典序越大，我们就必须让剩下的数能构成的逆序对数尽量小，所以a要放到最后，这样m减少的最多。

放完了a，问题就变成了n-1和m-(a的贡献)的子问题，递归求解即可。时间复杂度O(n)。

代码：

typedef long long ll;
ll n,m,a[50005];
int main(){
    scanf("%lld%lld\n",&n,&m);
    ll lst=n,fst=1;
    for(int i=1;i<=n;i++){
        ll t=(ll)(n-i)*(n-i-1)/2;
        if(t>=m)a[fst++]=i;//放头上
        else a[lst--]=i,m-=(lst-fst+1);//放最后
    }
    for(int i=1;i<=n;i++)printf("%d ",a[i]);
    return 0;
}