牛客小白月赛17 F小黄鸭(计算几何+积分+二分)_牛客网微积分应用题-优快云博客

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题目链接：https://ac.nowcoder.com/acm/contest/1085/F

题解：

根据 $\rho Vg=mg$ ， $\rho =1$ ，可得 $V=m$ ①

球的正视图是个圆心为（0，r），半径为r的圆，方程为 $x^{2}+(y-r)^{2}=r^2$ ②

侵入水中的体积：

体积公式是底面积×高，我们把圆形作为底面积，那么底面积为 $\pi r^2$ ,

$r^2$ 即 $x^2$ ,可通过②式移项得 $x^{2}=r^2-(y-r)^{2}$ ，

那么侵入水中的体积为 $V=\int _{0}^{z}\left ( r^2-(y-r)^{2} \right )\pi dy$ ,z是侵入水中的深度，上界的 $z=2r-h$ , $h$ 即是我们要求的答案。

积下来答案为 $V=rz^{2}-\frac{1}{3}z^{3}$ ，我们对z进行二分，然后 $2r-z$ 即为所求。

代码：

# define _CRT_SECURE_NO_WARNINGS
#pragma GCC optimize(2)
#include <iomanip>
#include <iostream>
#include <algorithm>
#include <cstring>
#include <cstdio>
#include <cmath>
#include <map>
#include <unordered_map>
#include <vector>
#include <queue>
#define int long long
#define fir first
#define sec second
#define IOS ios_base::sync_with_stdio(0);cin.tie(0)
using namespace std;
/*---------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------*/
const int N = 5000 + 5;
const double pi = acos(-1.0);
typedef long long ll;
const int mod = 998244353;
//const int mod = 1e9 + 7;
#define inf 0x3f3f3f3f
struct something {
  int num, period, time;
  bool operator < (const something& y)const {
    return y.time < time || (y.time == time && y.num < num);
  }
  something() {}
  something(int num, int period, int time) :num(num), period(period), time(time) {}
};

int dx[8] = { 0, 0, 1,-1, 1, 1,-1,-1 };
int dy[8] = { 1,-1, 0, 0, 1,-1, 1,-1 };


double r, v;
bool f(double z) {
  return pi * (-1.0 / 3.0 * z * z * z + r * z * z) >= v;
}
signed main() {
  IOS;
#ifdef ONLINE_JUDGE
#else
  freopen("Data.txt", "r", stdin);
#endif
  cin >> r >> v;
  double L = 0, R = 2 * r;
  for (int i = 0; i < 1000; i++) {
    /* z=2*r-h */
    double z = (L + R) / 2.0;
    if (f(z))R = z;
    else L = z;
  }
  printf("%.2lf\n", 2 * r - L);
  return 0;
}

题目描述：

小sun的寝室有一只小黄鸭，小黄鸭浮在水面上的样子特别可爱，现在小sun有一个问题：

为了简单，我们把小黄鸭视为一个均匀的球体，它浮在水面上的样子大概为：

图中黑色的线即为水平线，灰色的部分为没在水中的部分，现在你要求的是，这个球体浮在水面上的部分的高度（即为图中的h）。

高度定义为：一端在圆上，一端在水平线上且过圆心切垂直于水平线的线段长。

浮力定律：物体在液体中所获得的浮力，等于物体所排出液体的重量。（水的密度为1）

输入描述:

第一行两个整数：R，m

代表球体的半径与质量

输出描述:

一行实数，代表浮在水面上的高度值，请保留两位小数。