【课】第四五次课

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课程内容目录汇总

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第五次课

本节课程目录

• 函数极限的计算
  • 函数$y=f(x)$在$x\to \infty$时极限
    • 函数$y=f(x)$在$x\to +\infty$时极限
    • 函数$y=f(x)$在$x\to -\infty$时极限
    • 函数$y=f(x)$在$x\to \infty$时极限
  • 函数$y=f(x)$在$x\to x_0$时极限
    • 函数$y=f(x)$在$x\to x_0^{+}$时极限
    • 函数$y=f(x)$在$x\to x_0^{-}$时极限
    • 函数$y=f(x)$在$x\to x_0$时极限
  • 复合函数极限
• 函数极限性质
  • 唯一性
  • 局部有界性
  • 局部保号性
• 两个重要极限（一）
  • $\underset{x\to \infty }{\lim }(1+\frac{1}{x}{)}^x=e$

P12

性质3：局部保号性
下图写的是 “某个去心邻域”

两个重要极限 P13

知识点

$$\underset{x\to \infty }{\lim }(1+\frac{1}{x}{)}^x=e$$

等价形式为：${\lim }_{x\to 0}(1+x{)}^{\frac{1}{x}}=e$

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第五次作业

1题

答案：

令附下列方法1和方法2：
方法1：取大头。（没有步骤，不好得分）

方法2：同除以大头。

注：该题收录到 抓大头例4

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第四次课

本节课程目录

• 六类基本初等函数
  • 常数函数
  • 幂函数
  • 指数函数
  • 对数函数
  • 三角函数
  • 反三角函数
• 初等函数
• 数列极限的计算
  • 运算法则
    • “抓大头”
• 数列极限的性质
  • 唯一性
  • 有界性

第九页

题目

解析：抓大头，分子取n，原式 = $\underset{n\to \infty }{\lim }\frac{n}{n}=1$
 
 

抓大头

抓大头可以简单理解为：分子分母分别取大的部分为大头，忽略小的部分。本质上是分子分母同时除以大头。

作答时的具体步骤： 若题目要求用极限的四则运算计算，则用方法2写过程；若无要求，可用方法1直接写答案。

一些例题：

例1：

$$\underset{n\to \infty }{\lim }\frac{2n^2+8n+1}{4n^2-9n-1}$$

方法1：取大头。当$n\to \infty$时，分子较大的部分是$2n^2$，分母较大的部分是$4n^2$，故$\underset{n\to \infty }{\lim }\frac{2n^2+8n+1}{4n^2-9n-1}=(\underset{n\to \infty }{\lim }\frac{2n^2}{4n^2})=\frac{1}{2}$
方法2：同除以大头。分子分母同时除以$n^2$，$\underset{n\to \infty }{\lim }\frac{2n^2+8n+1}{4n^2-9n-1}=\underset{n\to \infty }{\lim }\frac{2+\frac{8}{n}+\frac{1}{n^2}}{4-\frac{9}{n}-\frac{1}{n^2}}=\frac{1}{2}$

例2：（源于第四次作业的5（3）题）

$$\underset{n\to \infty }{\lim }\frac{2^n+1}{3^n-1}$$

方法1：取大头。分子中较大的部分是$2^n$，分母较大的部分是$3^n$，故$\underset{n\to \infty }{\lim }\frac{2^n+1}{3^n-1}=(\underset{n\to \infty }{\lim }\frac{2^n}{3^n})=0$ （关于$n\to \infty ，\frac{2^n}{3^n}$的极限为0，详见点击跳转）
方法2：同除以大头。同除以$3^n$，$\underset{n\to \infty }{\lim }\frac{2^n+1}{3^n-1}=\underset{n\to \infty }{\lim }\frac{\frac{2^n}{3^n}+\frac{1}{3^n}}{1-\frac{1}{3^n}}=\underset{n\to \infty }{\lim }\frac{(\frac{2}{3}{)}^n+\frac{1}{3^n}}{1-\frac{1}{3^n}}=0$

例3：（源于第四次作业的5（5）题）

$$\underset{n\to \infty }{\lim }\frac{n}{\sqrt{n^2+1}+n}$$

方法1：取大头。分母中$\sqrt{n^2+1}$较大的部分是$n^2$，忽略1，则分母取$\sqrt{n^2}+n=2n$，故$\underset{n\to \infty }{\lim }\frac{n}{\sqrt{n^2+1}+n}=(\underset{n\to \infty }{\lim }\frac{n}{\sqrt{n^2}+n})=\frac{1}{2}$
方法2：同除以大头。分子分母同时除以n。$\underset{n\to \infty }{\lim }\frac{n}{\sqrt{n^2+1}+n}=\underset{n\to \infty }{\lim }\frac{1}{\sqrt{1+\frac{1}{n^2}}+1}=\frac{1}{2}$

例4：（源于第五次作业的1题）

判断下列极限是否存在
$$\underset{x\to \infty }{\lim }\frac{e^x-e^{-x}}{e^x+e^{-x}}$$

须知：
$$\begin{gathered} \underset{x\to +\infty }{\lim }{e}^x=+\infty ,\underset{x\to -\infty }{\lim }{e}^x=0 \\ \underset{x\to +\infty }{\lim }{e}^{-x}=0,\underset{x\to -\infty }{\lim }{e}^{-x}=+\infty \end{gathered}$$

方法1：取大头。
当$x\to +\infty$时，$e^x$是大头，忽略$e^{-x}$，则$\underset{x\to +\infty }{\lim }\frac{e^x-e^{-x}}{e^x+e^{-x}}=(\underset{x\to +\infty }{\lim }\frac{e^x}{e^x})=1$
当$x\to -\infty$时，$e^{-x}$是大头，忽略$e^x$，则$\underset{x\to -\infty }{\lim }\frac{e^x-e^{-x}}{e^x+e^{-x}}=(\underset{x\to -\infty }{\lim }\frac{-e^{-x}}{e^{-x}})=-1$

方法2：同除以大头。
当$x\to +\infty$时，同除以$e^x$，$\underset{x\to +\infty }{\lim }\frac{e^x-e^{-x}}{e^x+e^{-x}}=\underset{x\to +\infty }{\lim }\frac{1-e^{-2x}}{1+e^{-2x}}=1$
当$x\to -\infty$时，同除以$e^{-x}$，$\underset{x\to -\infty }{\lim }\frac{e^x-e^{-x}}{e^x+e^{-x}}=\underset{x\to -\infty }{\lim }\frac{e^{2x}-1}{e^{2x}+1}=-1$

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第四次作业

5（3）题

注：该题收录到抓大头例2
方法一：详见抓大头例2

关于${\lim }_{n\to \infty }(\frac{2}{3}{)}^n=0$的两种理解：

理解一：数列{$(\frac{2}{3}{)}^n$}：$\frac{2}{3},\frac{4}{9},\frac{8}{27},\dots$ 越来越小，趋于0
理解二：$y=(\frac{2}{3}{)}^x$的图像如下图。由图可知，当$x\to \infty$, $y=(\frac{2}{3}{)}^x$趋于0，故$y=(\frac{2}{3}{)}^n$趋于0

 

5（5）题

详见抓大头例3

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